第一部分必考内容选修3-2 第十章 电磁感应专题2 电磁感应中的动力学、能量和动量问题

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专题 2　电磁感应中的动力学、能量和动量问题
　电磁感应中的动力学问题
1.用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题
解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：
2.电磁感应中的动力学临界问题
(1)解决这类问题的关键是通过受力情况和运动状态的分析，寻找过程中的临界
状态，如速度、加速度为最大值或最小值的条件。
【例 1】 如图 1所示，足够长的平行金属导轨 MN 和PQ 表面粗糙，与水平面间
的夹角为 θ＝37°(sin 37°＝0.6)，间距为 1 m。垂直于导轨平面向上的匀强磁场的
磁感应强度的大小为 4 T，P、M间所接电阻的阻值为 8 Ω。质量为 2 kg 的金属杆
ab 垂直导轨放置，不计杆与导轨的电阻，杆与导轨间的动摩擦因数为 0.25。金
属杆 ab 在沿导轨向下且与杆垂直的恒力 F作用下，由静止开始运动，杆的最终
速度为 8 m/s，取 g＝10 m/s2，求：
图1
(1)当金属杆的速度为 4 m/s 时，金属杆的加速度大小；
(2)当金属杆沿导轨的位移为 6 m 时，通过金属杆的电荷量。
解析　(1)对金属杆 ab 应用牛顿第二定律，有
F＋mgsin θ－F安－f＝ma，f＝μFN，FN＝mgcos θ
ab 杆所受安培力大小为 F安＝BIL
ab 杆切割磁感线产生的感应电动势为 E＝BLv
由闭合电路欧姆定律可知 I＝
整理得 F＋mgsin θ－v－μmgcos θ＝ma
代入 vm＝8 m/s 时a＝0，解得 F＝8 N
代入 v＝4 m/s 及F＝8 N，解得 a＝4 m/s2。
(2)设通过回路横截面的电荷量为 q，则 q＝It
回路中的平均电流强度为I＝
回路中产生的平均感应电动势为E＝
回路中的磁通量变化量为 ΔΦ＝BLx，联立解得 q＝3 C。
答案　(1)4 m/s2　(2)3 C
1.如图 2所示，足够长的粗糙绝缘斜面与水平面成 θ＝37°角放置，在斜面上虚
线aa′和bb′与斜面底边平行，在 aa′、bb′围成的区域中有垂直斜面向上的有界匀
强磁场，磁感应强度为 B＝1 T；现有一质量为 m＝10 g，总电阻 R＝1 Ω、边长 d
＝0.1 m 的正方形金属线圈 MNQP，让 PQ 边与斜面底边平行，从斜面上端由静
止释放，线圈刚好匀速穿过整个磁场区域。已知线圈与斜面间的动摩擦因数为 μ
＝0.5，(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
图2
(1)线圈进入磁场区域时的速度大小；
(2)线圈释放时，PQ 边到 bb′的距离；
(3)整个线圈穿过磁场的过程中，线圈上产生的焦耳热。
解析　(1)对线圈受力分析，根据平衡条件得
F安＋μmgcos θ＝mgsin θ，F安＝BId，I＝，E＝Bdv
联立并代入数据解得 v＝2 m/s。
(2)线圈进入磁场前做匀加速运动，根据牛顿第二定律得
a＝＝2 m/s2
线圈释放时，PQ 边到 bb′的距离 L＝＝ m＝1 m
(3)由于线圈刚好匀速穿过磁场，
则磁场宽度等于 d＝0.1 m，
Q＝W安＝F安·2d
代入数据解得 Q＝4×10－3 J。
答案　(1)2 m/s　(2)1 m　(3)4×10－3 J
2.(2020·广东模拟)如图 3甲，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面内，
导轨间距为 1.0 m，左端连接阻值 R＝4.0 Ω 的电阻；匀强磁场磁感应强度 B＝
0.5 T、方向垂直导轨所在平面向下；质量 m＝0.2 kg、长度 L＝1.0 m、电阻 r＝1.0
Ω的金属杆置于导轨上，向右运动并与导轨始终保持垂直且接触良好。t＝0时对
杆施加一平行于导轨方向的外力 F，杆运动的 v－t图象如图乙所示。其余电阻
不计。求：
图3
(1)从t＝0开始，金属杆运动距离为 5 m 时电阻 R两端的电压；
(2)在0～3.0 s 内，外力 F大小随时间 t变化的关系式。
解析　(1)根据 v－t图象可知金属杆做匀减速直线运动时间 Δt＝3 s，
t＝0 s 时杆速度为 v0＝6 m/s，
由运动学公式得其加速度大小 a＝
设杆运动了 5 m 时速度为 v1，
则v－v＝2as1
此时，金属杆产生的感应电动势 E1＝BLv1
回路中产生的电流 I1＝
电阻 R两端的电压 U＝I1R
联立以上几式可得 U＝1.6 V。
(2)由t＝0时BIL＜ma，可分析判断出外力 F的方向与 v0反向。
金属杆做匀减速直线运动，由牛顿第二定律有
F＋BIL＝ma
设在 t时刻金属杆的速度为 v，杆的电动势为 E，回路电流为 I，
则v＝v0－at，又 E＝BLv，I＝
联立以上几式可得 F＝0.1＋0.1t。
答案　(1)1.6 V　(2)F＝0.1＋0.1t
　电磁感应中的能量问题
1.电磁感应中的能量转化
2.求解焦耳热 Q的三种方法
3.动量守恒定律在电磁感应现象中的应用
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当
系统内力，如果它们受到的安培力的合力为 0时，满足动量守恒，运用动量守
恒定律求解比较方便。
【例 2】 (2019·4 月浙江选考，22)如图 4所示，倾角 θ＝37°、间距 l＝0.1 m 的足
够长金属导轨底端接有阻值 R＝0.1 Ω 的电阻，质量 m＝0.1 kg 的金属棒 ab 垂直
导轨放置，与导轨间的动摩擦因数 μ＝0.45。建立原点位于底端、方向沿导轨向
上的坐标轴 x。在 0.2 m≤x≤0.8 m 区间有垂直导轨平面向上的匀强磁场。从 t＝0
时刻起，棒 ab 在沿 x轴正方向的外力 F作用下，从 x＝0处由静止开始沿斜面向
上运动，其速度 v与位移 x满足 v＝kx(可导出 a＝kv)，k＝5 s－1。当棒 ab 运动至
x1＝0.2 m 处时，电阻 R消耗的电功率 P＝0.12 W，运动至 x2＝0.8 m 处时撤去外
力F，此后棒 ab 将继续运动，最终返回至 x＝0处。棒 ab 始终保持与导轨垂直，
不计其他电阻，求：(提示：可以用 F－x图象下的“面积”代表力 F做的功，
sin 37°＝0.6，g取10 m/s2)
摘要：

专题2　电磁感应中的动力学、能量和动量问题　电磁感应中的动力学问题1.用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：2.电磁感应中的动力学临界问题(1)解决这类问题的关键是通过受力情况和运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度为最大值或最小值的条件。【例1】如图1所示，足够长的平行金属导轨MN和PQ表面粗糙，与水平面间的夹角为θ＝37°(sin37°＝0.6)，间距为1m。垂直于导轨平面向上的匀强磁场的磁感应强度的大小为4T，P、M间所接电阻的阻值为8Ω。质量为2kg的金属杆ab垂直导轨放置，不计杆与导轨的电阻，杆与导轨间的...

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