辽宁省沈阳市第一二〇中学2023-2024学年高二下学期第二次质量监测试题 数学 Word版含解析

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沈阳市第 120 中学 2003—2024 学年度下学期
高二年级第二次质量监测试题
数 学
满分：150 分 考试时间：120 分钟
命题人：赵立强 刘甫春 审题人：孙爽
一、单选题；本题共 8小题，满分 40 分．每小题给出的选项中，只有 1顶是符合题目要求的．
1. 求值：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+2017﹣2019＝（ ）
A. ﹣2020 B. ﹣1010 C. ﹣505 D. 1010
2. 等差数列 和 的前 项和分别记为 与 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数 的图象如图所示， 是函数 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在等比数列 中， 则 为（ ）
A. B. C. D.
5. 设等差数列 的前 n项和为 ，若 ，则 (　　)
A
.
3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 已知数列 满足 ， ，令 ．若数列 是公比为 2的等
比数列，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知 是公比不为 1的等比数列 的前 项和，则“成等差数列”是“存在不相等的正整数
，使得 成等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知数列 满足 ， ，且 （ ，
），设 （ 表示不超过实数
的
最大整数），又 ，则
的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3小题，满分 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 过点 且与曲线 相切的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角
垛”最上层有 1个球，第二层有 3个球，第三层有 6个球，第四层有 10 个球…设第 n层有 个球，从上往
下n层球的总数为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. ，D.
11. 对于无穷数列 ，定义： ，称数列 是 的“倒差数列”，下列叙述正确
的有（ ）
A. 若数列 单调递增，则数列 单调递增
B. 若数列 是常数列， ，则数列 是周期数列
C
.
若 ，则数列 没有最小值
D
.
若 ，则数列 有最大值
三、填空题：本题共 3小题，满分 15 分．
12. 已知 ，则 __________．
13. 已知 ，记 ， ， ， ，则
______．
14. 数列 满足 ，前 16 项和为 540，则 ______________.
四、解答题：本题共 5小题，满分 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15
.
已知函数 .
（1）分别求出 和 的导数；
（2）若曲线 在点 处的切线与曲线 在 处的切线平行，求 的值.
16. 已知 为等差数列， 是公比为正数的等比数列， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 n项和.
17. 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植
公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入 40 万元用于牧草的养护管理，以后每年投入
金额比上一年减少 ，本年度牧草销售收入估计为 30 万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销
售收入每年会比上一年增加 ．
（1）设 n年内总投入金额为 万元，牧草销售总收入为 万元，求 ， 的表达式；
（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（ ， ）
18. 过点 作曲线 （ ，常数 ， ）的切线．切点为 ，点 在 x轴上的投
影是点 ；又过点 作曲线 C的切线，切点为 ，点 在 x轴上的投影是点 ；……依此类推，得到一
系列点 ， ，…， ，设点 的横坐标为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： ；
（3）求证： ．
19. 已知数列 的前 项和为 ，且
（ ）求数列 的通项公式；
（ ）若数列 满足 ，求数列 的通项公式；
（ ）在（ ）的条件下，设 ，问是否存在实数 使得数列 是单调递增数列？
若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
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