北京市中国人民大学附属中学2025届高三年级10月质量检测练习数学试卷+答案
2025-12-02
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2024 北京人大附中高三 10 月月
考 数 学
说明：本试卷 21 道题，共 150 分；考试时间 120 分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将
条 形码贴在答题卡的相应位置上.
一、选择题（本大题共 10
小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置. )
1. 已知集合 ( )
A.
(−2, 4) B. [0, 4) C. [0,1] D.
{0,1}
2. 下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[0, +∞ )上递减的是( )
B.
f
(x) = cosx D. f
(x) = ex − e− x
3. 已知 a > b> 0 ，以下四个数中最大的是( )
A. b B.
4. 已知角 α 的顶点在原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点 ,cos ，则角 α 的一
个可
能值为( )
A. − B. D.
5. 已知函数 f (x) = 9 lg x − x + 1，则 f
(x) > 0 的解集为( )
A. (0,10) B. (1,10) C. (0,1) (10, +∞) D. (−∞,1) (10, +∞
)
6. 已知定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (x − 2) 是奇函数，f (x) 是偶函数，则下列各数一定是 f
(x)
零点 的是( )
A. 2019 B. 2022 C. 2025 D. 2028
7. 深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：L = L0D ，其中，L 表示每一轮优化时
使用的学习率，L0 表示初始学习率，D 表示衰减系数， G 表示训练迭代轮数， G0
表示衰减速度．已
知， 某个指数衰减学习率模型的初始学习率为 0.5 ，衰减速度为 18 ．经过 18 轮迭代学习时，学习率衰
减为
0.4 ，则学习率衰减到 0.2
以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据： lg 2 = 0.3010 ）
A. 71 B.
72 C. 73 D. 74
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1 1
8.
已知 a, b 均为正实数．则“
> ”是“ a2 + 5b2 > 6ab ”的( )
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D.
既不充分又不必要条件
9.
音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“ 葫芦曲线” .它的性质是每经过相同的时间间隔，它的
振
幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为 sin①x , x ≥ 0 ，其中 表示不
超过 x 的最大整数.若该条曲线还满足 ① ∈ (1, 3) ，经过点 则该条葫芦曲线与直线
τ 交点的纵
坐标为( )
B. ± C. ± D. ±1
10. 如图所示，直线 y = kx + m 与曲线 y = f(x)相切于(x1, f
(x1 )), (x2, f (x2 )) 两点，其中 x1 < x2 ．
若当 x∈ (0, x1 ) 时，f , (x) > k ，则函数 f
(x)− kx 在(0, +∞)上的极大值点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．请把结果填在答题纸上的相应位置.
)
11. 函数 f
的定义域为
12. 函数 f
的值域为_____ .
13. 已知对任意实数 x ，均有 cos = sin , ① ∈ R ，写出一组满足条件的(①,φ) =
______ .
14.
已知函数 f
(x) = ln (x + 1) − k 有两个零点 a , b(a < b) ，则 a + 2(b + 1) 的取值范围为 .
15.
已知函数 f (x) = x +1 +
ax − 2 (a > 0) 定义域为 R，最小值记为 M(a) ，给出以下四个结论：
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①M(a) 的最小值为 1；
②M(a) 的最大值为 3；
③ f
(x) 在(−∞, −1) 上单调递减；
④a 只有唯一值使得 y = f(x)的图象有一条垂直于 x 轴的对称轴.
其中所有正确结论的是： .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请
在
答题纸上的相应位置作答. )
16. 已知数列{an } 的前 n 项和为 Sn = n2 + 3n, n
∈
N
* .
（1）求{an
} 的通项公式：
（2）若等比数列 {bn
}满足 b1 = a2, b2 = a3 ，求 {bn
} 的前 n 项和 Tn .
17.
已知函数 f (x) = sin ①xcosφ− cos①xsinφ(① > 0,| φ |< )
.
若 f
，求
φ
的值；
（2）已知 f (x) 在[ , ] 上单调递减， = −1 ，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数
f (x) 唯一确定，求
①
,
φ
的值.
是曲线 y = f (x) 的一个
对称中
心；
③ f (x) 在[0, ] 上单调递增；
18.
已知函数 x3
+ x2 − 4x + a
（1）若 a = 0 ，求曲线 y = f (x) 的斜率为 −4 的切线方程；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若函数在[−1,2] 上恰有 1 个零点，直接写出 a
的取值集合.
19. 海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某
天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1 时即为凌晨 3 点 06 分）
时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
水深：y（米）5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0
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（1）根据以上数据，可以用函数 y = Asin 来近似描述这一天内港口水深与
时间的关系，求出这个函数的解析式；
（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为 4.2 米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停
靠 时，船底高于海底平面的安全间隙至少有 2 米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港
时 间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长.
20. 已知函数 f
(x) = ex
(x2 + x)，记其在点 (a, f
(a)) 处的切线方程为：y = ga
(x) . 定义关于 x 的函数 Fa
(x) = f (x)− ga
(x) .
（1）求 g1
(x) 的解析式；
（2）当 a > 0 时，判断函数 Fa (x) 的单调性并说明理由；
（3）若 a 满足当 x ≠ a时，总有 > 0成立，则称实数 a 为函数 f
(x) 的一个“Q 点”，求
f (x) 的所有 Q 点.
21.
已知集合 Ωn
= {X X = (x1, x2,..., xn
), xi ∈{0,1}, i = 1, 2,..., n} ，对于任意 X ∈Ωn ，
操作一：选择 X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续 k 个1或连
续k 个0 ，得到 Y ∈Ωn+k
(k ≥ 1) ；
操作二：删去 X 中连续 k 个1或连续 k 个0 ，得到 Y ∈Ωn−k
(1 ≤ k ≤ n−1) ；
进行一次操作一或者操作二均称为一次“ 10 月变换 ”，在第 n 次(n∈ N* ) “ 10 月变换 ”的结果上再
进行 1 次“ 10 月变换 ”称为第 n +1次“ 10 月变换 ”.
（1）若对 X = (0,1, 0) 进行两次“ 10 月变换 ”，依次得到 Y ∈Ω4 ，Z ∈Ω2 ．直接写出 Y 和Z
的所
有可 能情况.
（2）对于 X = (0, 0,..., 0) ∈Ω100
和Y = (0,1, 0,1,..., 0,1) ∈Ω100
至少要对 X 进行多少次“ 10 月变换
”才能 得到 Y ？说明理由 .
（3）证明：对任意 X, Y ∈Ω2n
，总能对 X进行不超过 n +1次“ 10 月变换 ”得到 Y .
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