福建省厦门第一中学2024-2025学年高三12月月考数学+答案

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福建省厦门第一中学海沧校区 2024—2025 学年度第一学期
12 月月考
高三年数学试卷
满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1． 已知
M=
{
x∈Z
|
0＜
|
x
|
＜2
}
，
N=
{
x
|
x2− x ≤ 0
}
，则
M ∩ N =¿
( ).
A．{0,1} B．{1} C．{-1,1} D．
∅
2． 已知（2-2i）
z
=i，则 =( ).
A．
1
4+1
4i
B．
−1
4−1
4i
C．
D．
−1
4+1
4i
3． 已知数列
{1
an
}
是首项为 5，公差为 2的等差数列，则
a11
=( ).
A．
1
25
B．
1
22
C．
1
17
D．
1
19
4． 已知 , , , 则( ).
A. b>a>c B. c>b>a C. a>c>b D. a>b>c
5． 将 5名大学生分配到 3个乡镇当官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有（ ）种.
A．240 B．60 C．150 D．180
6． 已知点 P 是焦点为 F 的抛物线 C : 4x2= y 上的一个点 ，过点 P 作直线 l : 的垂线 ，垂
足为点 A，直线 l 与y 轴的交点为 B ，若 PB 是∠FPA 的平分线 ，则△BFP 的面积为( ).
A．
1
64
B．
√
2
64
C．
1
128
D．
√
2
128
7． 已知 为单位向量，且 ，向量 满足 ，则
的最小值为( ).
A.
√
13
-1 B.
√
3
-1 C.14 - 2
√
13
D. 4 - 2
√
3
8．端午是一大中华传统节日.小玮同学包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，
将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相
切的球，图中作为球 O）.如图：已知粽子三棱锥 P -ABC 中，PA = PB = AB
= AC = BC， H 、I 、J 分别为所在棱中点， D、
E 分别为所在棱靠近 P 端
的三等分点 ，小玮同学切开后发现 ，沿平面 CDE 或平面 HIJ 切开后，截
面中均恰好看不见肉馅. 则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.
A．
2
√
3π
9
B．
√
3π
18
C．
2
√
3π
27
D．
√
3π
54
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项
符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．下列说法中正确的是 　　
A．一个样本的方差 ，则这组样本数据的总和等于 60
B．若样本数据 的标准差为 8，则数据 ， ， ， 的标准差为 16
C．数据 13，27，24，12，14，30，15，17，19，23 的第 70 百分位数是 23
D．若一个样本容量为 8的样本的平均数为 5，方差为 2，现样本中又加入一个新数据 5，此时样
本容量为 9，平均数不变，方差变小
10 ．已知抛物线 C : y2 = 4x的焦点为 F ，过 F 的直线 l 与C 交于 A，B 两点，过点 A 作C
的切线，交准线于点 P ，交 x 轴于点 Q ，下列说法正确的有（ ）.
A. QF = AF B.直线 QB 与C 也相切
C. PA 丄 PB D.若
∠
PAF =
π
6
则 AF = 4
11． (多选)已知
( )f x
是偶函数，
( )g x
是奇函数，且
11 ( )
2
f x g x
 
 
 
 
，则 (　 　)
A．
( )g x
是周期函数 B．
( )f x
的图象关于点
1,0
2
 
 
 
中心对称
C．
2022
1
4044
2023
i
i
f
 
 
D．
1
2
y f x
 
 
 
 
是偶函数
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12．已知一组数据 ， ，2，3， ， 大致呈线性分布，其回归直线方程为 ，则
的最小值为 = ▲ ．
13．已知函数 的最大值是 3， 的图象与 轴的交
点坐标为 ，其相邻两个对称中心的距离为 2，则
14．数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列
{an} :1，1，2，3，5，8，……, 从第 3项起 ，每一项都等于它前面两项之和，即 a1 = a2 =1，an+2 =
an+1 + an，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”，若 am= 2 (a3 + a6 + a9 +…+ a2022 )+1 ，则 m=
▲ ．
四、解答题：共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，如图， ， 是 上的动点，且 始终等于 ，记 ．当
为何值时，△ 的面积取到最小值，并求出最小值．
16.（15 分）
已知数列 的各项均为正数，其前 项和记为 ， ， ，其中 为
常数且 ．
（1）若数列 为等差数列，求 ；
（2）若 ，求数列 通项公式及 ．
17.（15 分）
如图，在直角梯形 中， ， ， ，点 是 的中点，
将△ 沿 对折至△ ，使得 ，点 是 的中点．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的正弦值．
18.（17 分）
著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式 ， 分别为
椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆
的离心率为 ，且右顶点 与上顶点 的距离 ．
（1）求椭圆 的面积；
（2）若直线 交椭圆 于 ， 两点，
求△ 的面积的最大值 为坐标原点）；
若以 ， 为直径的圆过点 ， ， 为垂足．是否存在定点 ，使得 为定值？
若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由．
19.（17 分）
定 义 在 上 的 函 数 ， 若 对 任 意 不同 的两 点 ， ， ， 都 存 在
， ，使得函数 在 处的切线 与直线 平行，则称函数 在 上处处
相依，其中 称为直线 的相依切线， ， 为函数 在 的相依区间．已知
．
（1）当 时，函数 在 上处处相依，证明：导函数 在 上有零点；
（2） 若 函 数 在 上 处 处 相 依 ， 且 对 任 意 实 数 、 ， ， 都 有
恒成立，求实数 的取值范围；
摘要：

福建省厦门第一中学海沧校区2024—2025学年度第一学期12月月考高三年数学试卷满分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知M={x∈Z|0＜|x|＜2}，N={x|x2−x≤0}，则M∩N=¿().A．{0,1}B．{1}C．{-1,1}D．∅2．已知（2-2i）z=i，则=().A．14+14iB．−14−14iC．14−14iD．−14+14i3．已知数列{1an}是首项为5，公差为2的等差数列，则a11=().A．125B．122C．117D．1194．已知,,,则().A.b>a>cB...

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