福建省厦门第一中学2024-2025学年高三12月月考数学+答案

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福建省厦门第一中学海沧校区 2024—2025 学年度第一学期

12 月月考

高三年数学试卷

满分：150 分考试时间：120 分钟

一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．

1．已知

{

x∈Z

0＜

＜2

}

，

{

x2− x ≤ 0

}

，则

M ∩ N =¿

( ).

A．{0,1} B．{1} C．{-1,1} D．

∅

2．已知（2-2i）

=i，则 =( ).

A．

4+1

B．

−1

4−1

C．

4−1

D．

−1

4+1

3．已知数列

}

是首项为 5，公差为 2的等差数列，则

a11

=( ).

A．

B．

C．

D．

4．已知 , , , 则( ).

A. b>a>c B. c>b>a C. a>c>b D. a>b>c

5．将 5名大学生分配到 3个乡镇当官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有（）种.

A．240 B．60 C．150 D．180

6．已知点 P 是焦点为 F 的抛物线 C : 4x2= y 上的一个点，过点 P 作直线 l : 的垂线，垂

足为点 A，直线 l 与y 轴的交点为 B ，若 PB 是∠FPA 的平分线，则△BFP 的面积为( ).

A．

B．

√

C．

128

D．

√

128

7．已知为单位向量，且，向量满足，则

的最小值为( ).

√

-1 B.

√

-1 C.14 - 2

√

D. 4 - 2

√

8．端午是一大中华传统节日.小玮同学包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，

将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相

切的球，图中作为球 O）.如图：已知粽子三棱锥 P -ABC 中，PA = PB = AB

= AC = BC， H 、I 、J 分别为所在棱中点， D、

E 分别为所在棱靠近 P 端

的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面 CDE 或平面 HIJ 切开后，截

面中均恰好看不见肉馅. 则肉馅与整个粽子体积的比为（）.

A．

√

3π

B．

√

3π

C．

√

3π

D．

√

3π

二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项

符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．

9．下列说法中正确的是　　

A．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于 60

B．若样本数据的标准差为 8，则数据，，，的标准差为 16

C．数据 13，27，24，12，14，30，15，17，19，23 的第 70 百分位数是 23

D．若一个样本容量为 8的样本的平均数为 5，方差为 2，现样本中又加入一个新数据 5，此时样

本容量为 9，平均数不变，方差变小

10 ．已知抛物线 C : y2 = 4x的焦点为 F ，过 F 的直线 l 与C 交于 A，B 两点，过点 A 作C

的切线，交准线于点 P ，交 x 轴于点 Q ，下列说法正确的有（）.

A. QF = AF B.直线 QB 与C 也相切

C. PA 丄 PB D.若

∠

PAF =

则 AF = 4

11． (多选)已知

( )f x

是偶函数，

( )g x

是奇函数，且

11 ( )

f x g x

 

  

 

 

，则 (　　)

A．

( )g x

是周期函数 B．

( )f x

的图象关于点

1,0

 

 

 

中心对称

C．

2022

4044

2023



  

 

 



D．

y f x

 



 

 

 

是偶函数

三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．

12．已知一组数据，，2，3，，大致呈线性分布，其回归直线方程为，则

的最小值为 = ▲ ．

13．已知函数的最大值是 3，的图象与轴的交

点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为 2，则

14．数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列

{an} :1，1，2，3，5，8，……, 从第 3项起，每一项都等于它前面两项之和，即 a1 = a2 =1，an+2 =

an+1 + an，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”，若 am= 2 (a3 + a6 + a9 +…+ a2022 )+1 ，则 m=

▲ ．

四、解答题：共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13 分）

在△ 中，角，，所对的边分别为，，，且

．

（1）求角的大小；

（2）若，如图，，是上的动点，且始终等于，记．当

为何值时，△ 的面积取到最小值，并求出最小值．

16.（15 分）

已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为

常数且．

（1）若数列为等差数列，求；

（2）若，求数列通项公式及．

17.（15 分）

如图，在直角梯形中，，，，点是的中点，

将△ 沿对折至△ ，使得，点是的中点．

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值．

18.（17 分）

著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，分别为

椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆

的离心率为，且右顶点与上顶点的距离．

（1）求椭圆的面积；

（2）若直线交椭圆于，两点，

求△ 的面积的最大值为坐标原点）；

若以，为直径的圆过点，，为垂足．是否存在定点，使得为定值？

若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

19.（17 分）

定义在上的函数，若对任意不同的两点，，，都存在

，，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处

相依，其中称为直线的相依切线，，为函数在的相依区间．已知

．

（1）当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点；

（2）若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有

恒成立，求实数的取值范围；

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摘要：

福建省厦门第一中学海沧校区2024—2025学年度第一学期12月月考高三年数学试卷满分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知M={x∈Z|0＜|x|＜2}，N={x|x2−x≤0}，则M∩N=¿().A．{0,1}B．{1}C．{-1,1}D．∅2．已知（2-2i）z=i，则=().A．14+14iB．−14−14iC．14−14iD．−14+14i3．已知数列{1an}是首项为5，公差为2的等差数列，则a11=().A．125B．122C．117D．1194．已知,,,则().A.b>a>cB...

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