六年级上册数学苏教版知识要点

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一 长方体和正方体
一、长方体的认识
1.认识长方体的面、棱、顶点。
(1)从不同的角度观察同一个长方体。
把长方体放在桌面上,无论从哪个角度观察,最多只
．．．
能同时观察到长方体的三个面。
．．．．．．．．．．．．．．
(2)长方体的棱和顶点。
长方体两个面相交的线叫作长方体的棱,三条棱相
交的点叫作长方体的顶点。
2.长方体的特征。
长方体是由 6 个长方形(也可能有 2 个相对的面是
正方形)围成的立体图形,它有 6 个面、12 条棱和 8 个顶
点。在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度
相等。
3.长方体长、宽、高的含义。
长方体相交于同一顶点的三条棱的长度
．．．．．．．．．．．．．．．．．
,
．
分别叫作
．．．．
它的长、宽、高。
．．．．．．．．
4.长方体的长、宽、高不是固定不变的,它与长方体
的摆放方式有关。长方体相交于同一顶点的三条棱中,
通常把水平方向的两条棱分别叫作它的长和宽,把竖直
方向的一条棱叫作它的高。
二、正方体的认识
1.正方体也叫立方体。它是由 6 个完全相同的正方
形围成的立体图形。它的 6 个面是完全相同的正方形,12
条棱的长度都相等,有 8 个顶点。
2.正方体的长、宽、高相等,都叫正方体的棱长。
3.长方体和正方体的特征的异同。
①相同点:都有 6 个面、12 条棱、8 个顶点,相对的
面完全相同,相对的棱长度相等。
②不同点:长方体的 6 个面都是长方形(也可能有 2
个相对的面是正方形);一般情况下,棱有 3 组,每组 4 条棱
长度相等。正方体的 6 个面是完全相同的正方形;每条
棱的长度都相等。
三、正方体、长方体的展开图
1.把一个正方体沿一条棱剪开,如下图所示。
正方体的展开图是由 6 个完全相同的正方形组成
的,可以通过观察、折叠找到 3 组相对的面。
2.沿长方体的棱把长方体剪开,展开图中有 3 组相
对的面,相对的面完全相同
．．．．．．．．
,
．
相对的面完全隔开。
．．．．．．．．．
易错点:误认为一个长方体中
最多有 4 条相等的棱。这是错误的,
一定要注意长方体的 6 个面不一
定都是长方形,也可能有 2 个相对
的面是正方形。当长方体有 2 个相
对的面是正方形时,就有 8 条棱长
度相等。
直观图中的实线表示从某个
角度能够看到的棱,虚线表示看不
到的棱。
长方体 12 条棱的长度和叫作
长方体的棱长总和。长方体的棱长
总和=(长+宽+高)×4。
易错点:误认为有 6 个面、12
条棱、8 个顶点的立体图形不是长
方体就是正方体。这是不正确的,
一定要注意有 6 个面、12 条棱、8
个顶点并不代表它就是长方体或
正方体,要看它是否具备长方体或
正方体的所有特征,如下图,这个立
体图形既不是长方体,也不是正方
体。
正方体的棱长总和:棱长×12。
正方体具有长方体的一切特
征,正方体是特殊的长方体。
同一个立体图形,沿不同的棱
剪开,得到的展开图不同。
技巧:
正方体有 6 个相同的面,可以
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3.沿着正方体(或长方体)的棱将它剪开,可以把正方
体(或长方体)展开成一个平面图形,这个平面图形就是
正方体(或长方体)的展开图。在展开图中,正方体的 6 个
面完全相同(长方体相对的面完全相同),相对的面完全
隔开。
四、长方体和正方体表面积的意义及计算方法
1.表面积的意义:长方体
．．．
(
．
或正方体
．．．．
)
．
6
．
个面的总面积
．．．．．．
,
．
叫作它的表面积。
．．．．．．．．
2.长方体和正方体表面积的计算方法。
(1)长方体的表面积
．．．．．．．
=
．
长
．
×
．
宽
．
×
．
2+
．．
长
．
×
．
高
．
×
．
2+
．．
宽
．
×
．
高
．
×
．
2=
．．
(
．
长
．
×
．
宽
．
+
．
长
．
×
．
高
．
+
．
宽
．
×
．
高
．
)
．
×
．
2
．
。
．
如果用
S
表示长方体的表面积,用
a
、
b
、
h
分别表
示长方体的长、宽、高,那么长方体表面积的计算公式是
S=
2
ab+
2
ah+
2
bh
或
S=
(
ab+ah+bh
)
×
2。
(2)正方体的表面积
．．．．．．．
=
．
棱长
．．
×
．
棱长
．．
×
．
6
．
。
．
如果用
S
表示正方体的表面积,用
a
表示棱长,那么
正方体表面积的计算公式是
S=
6
a
2。
五、运用长方体和正方体表面积的计算方法解决实
际问题
1.求长方体和正方体物体的表面积时,最关键的是
要根据实际情况确定好求几个面的面积和。
2.在实际生活中,并不是所有长方体形状的物体都
有 6 个面,如长方体的鱼缸只有 5 个面,通风管只有 4 个
面。因此,在计算时要根据实际情况解题。
六、体积和容积的意义
1.物体所占空间的大小叫作物体的体积。
．．．．．．．．．．．．．．．．．
2.能盛装其他物体的都可以称为容器,不能盛装其
他物体的都不是容器。
3.容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
4.有容积的物体一定有体积,但有体积的物体不一
定有容积。
七、体积单位
通过观察、折叠找到 3 组相对的
面。
长方体有 3 组相对的面,可以
通过看是否完全隔开,完全隔开的
一组面就是相对的两个面。
当所求的长方体的表面积是 6
个面的面积时,先分别求出每组相
对的面中一个面的面积,相加后再
乘 2 较简便。
举例:大厅里有 8 根高为 5 米
的方柱需要涂油漆,方柱的横截面
是边长为0.5米的正方形,若1千克
油漆可以涂 5 平方米,则涂这 8 根
方柱需要多少千克油漆?
错
解:(0.5×0.5×2+0.5×5×4)×8÷5×1=
16.8(千克)
答:涂这 8 根方柱需要 16.8 千
克油漆。
正解:0.5×5×4×8÷5×1=16(千
克)
答:涂这 8 根方柱需要 16 千克
油漆。
一个容器容积的大小与它所
能盛装物体的多少有关。因为容器
都有一定的厚度,所以一个容器的
体积一般大于它的容积。
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1.棱长是 1 厘米的正方体,体积是 1 立方厘米。
2.棱长是 1 分米的正方体,体积是 1 立方分米。
3.棱长是 1 米的正方体,体积是 1 立方米。
4.常用的体积单位有立方厘米
．．．．．．．．．．．．
、
．
立方分米和立方米
．．．．．．．．
,
．
用字母表示分别是
．．．．．．．．cm
．．
3
．
、
．
dm
．．
3
．
和
．m
．
3
．
。
．
八、容积单位
1.容积单位的使用方法。
计量容积,一般就用体积单位。计量液体的体积,如
水、油等,通常用升或毫升作单位。升和毫升,用字母表
示分别为 L 和 mL,其中 1 L=1000 mL。
2.容积单位的换算。
1
．
dm
．．
3
．
=1
．．
L
．1
．
cm
．．
3
．
=1
．．
mL
．．
高级单位向低级单位转换用乘法计算;低级单位向
高级单位转换用除法计算。
3.“容积”与“体积”的区别。
(1)意义不同。
体积是指物体所占空间的大小,而容积是指容器所
能容纳物体的体积。一个物体有体积,但它不一定有容
积。
(2)测量方法不同。
求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高
进行计算,而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、
宽、高,然后计算。因此,对于同一个物体,一般来说,它的
容积要比体积小。
(3)单位名称不完全相同。
体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。固
体、气体的容积单位与体积单位相同,而液体的容积单位
一般用升、毫升。
九、长方体体积公式的推导
1.以取 12 个 1 立方厘米的小正方体,摆出不同形状
的长方体为例,如下图:
每个小正方体的体积是 1 立方厘米,每个长方体是
由 12 个小正方体摆成的,所以每个长方体的体积都是
12 立方厘米。
并不是只有棱长是 1 cm、1
dm、1 m 的正方体的体积才是 1
cm3、1 dm3和1m
3。
易错点:误认为容积就是体积,
这是不对的,一定要注意“容积”与
“体积”的不同。如一本书有体积,
却没有容积。
较大容器盛装液体时用“升”作
单位,较小容器盛装液体时用“毫升”
作单位。
巧记:
体积单位常用到,相邻进率是
1000。
高级单位化低级,要把此数乘
1000。
低级单位化高级,除以 1000
把数算。
转换过程要细心,掌握进率是
关键。
明确摆成不同形状长方体的
长、宽、高分别是多少。
1 立方厘米的小正方体的边长
是 1 厘米。长方体的长、宽、高由
几个小正方体摆成,它的长、宽、
高就分别是几厘米,它的体积正好
等于摆成长方体所需小正方体的
个数。
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2.填写表格。
长
/cm
宽
/cm
高
/cm
小正方体
的个数
体积
/cm3
长方
体①
12
1
1
12
12
长方
体②
6
2
1
12
12
长方
体③
4
3
1
12
12
长方
体④
3
2
2
12
12
3.(1)在摆成的长方体中,每排小正方体的个数相当
于长方体的长;排数相当于长方体的宽;层数相当于长方
体的高。
(2)长方体所含小正方体(体积单位)的个数正好等
于长方体长、宽、高的乘积。
4.长方体体积公式的字母表达式。
如果用
V
表示长方体的体积,用
a
、
b
、
h
分别表示
长方体的长、宽、高,那么长方体的体积公式可以写成
V=abh
。
长方体的体积
．．．．．．
=
．
长
．
×
．
宽
．
×
．
高
．
,
．
字母公式为
．．．．．
V=abh
．．．．．
。
．
5.拓展提高。
当长方体的长、宽、高都扩大到原来的
n
倍时,它
的体积就扩大到原来的
n
3(
n×n×n=n
3)倍;当长方体的
长、宽、高都缩小到原来的1
时,它的体积就缩小到原来
的1
3
1
×1
×1
1
3。
十、正方体体积公式的推导
1.长方体的体积=长 × 宽 × 高
↓↓↓
正方体的体积
．．．．．．
=
．
棱长
．．
×
．
棱长
．．
×
．
棱长
．．
2.正方体体积的字母公式。
如果用
V
表示正方体的体积,用
a
表示正方体的棱
长,那么正方体体积的字母公式可以写成
V=a
．．．
·
．
a
．
·
．
a=a
．．．
3
．
。
．
3.拓展提高。
举例:如果一个长方体的长、
宽、高都扩大到原来的 2 倍,那么
它的体积就扩大到原来的 23倍,即
8 倍;反之,如果一个长方体的长、
宽、高都缩小到原来的1
2,那么它的
体积就缩小到原来的 1
23,即1
8。
a
·
a
·
a
也可以写成“
a
3”,即
a
·
a
·
a=a
3,读作“
a
的立方”,表示 3 个
a
相乘。因此,正方体的体积公式一
般写成
V=a
3。写
a
3时,“3”要写在
a
的右上角,且要略小一些。
举例:如果一个正方体的棱长
扩大到原来的 2 倍,那么它的体积
就扩大到原来的 8 倍;反之,如果一
个正方体的棱长缩小到原来的1
2,那
么它的体积就缩小到原来的1
8。
在有些实际问题中,也可以用
“横截面的面积×长”来计算体积。
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摘要：

一长方体和正方体一、长方体的认识1.认识长方体的面、棱、顶点。(1)从不同的角度观察同一个长方体。把长方体放在桌面上,无论从哪个角度观察,最多只．．．能同时观察到长方体的三个面。．．．．．．．．．．．．．．(2)长方体的棱和顶点。长方体两个面相交的线叫作长方体的棱,三条棱相交的点叫作长方体的顶点。2.长方体的特征。长方体是由6个长方形(也可能有2个相对的面是正方形)围成的立体图形,它有6个面、12条棱和8个顶点。在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。3.长方体长、宽、高的含义。长方体相交于同一顶点的三条棱的长度．．．．．．．．．．．．．．．．．,．分别叫作．．．．它的长、宽、高。...

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