2025版高中物理：第十二章 电磁感应专项突破13 电磁感应中的动量问题

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专项突破 13
　
电磁感应中的动量问题
对应学生用书 P293
题型一
　
动量定理在电磁感应中的应用
1.模型构建
导体棒或金属框运动的形式有匀速、匀变速和非匀变速 3种,对前两种情况,容易想到用平衡条件和牛顿运动定律求
解,对后一种情况一般要结合动量知识求解。当安培力变化,且又涉及时间、位移、速度、电荷量等问题时,运用动
量定理往往能巧妙解决。
2.常见问题
在电磁感应中,动量定理应用于单杆切割磁感线运动,可求解变力的时间、速度、位移和电荷量等。
(1)导体棒在磁场中所受安培力是变力时,可用动量定理分析棒的速度变化,表达式为 I其他+
I
LBΔt=mv-mv0(
I
为电
流对时间的平均值)或I其他-
I
LBΔt=mv-mv0;若其他力的合冲量为零,则有
I
LBΔt=mv-mv0或-
I
LBΔt=mv-mv0。
(2)求电荷量:q=
I
Δt=
m v0-mv
BL
。
(3)求位移:由-
B2L2v
R
Δt=mv-mv0,有x=
Δt=
(mv0-mv )R
B2L2
。
角度 1
　
“单棒+电阻”模型
(2024 届孝昌三模)如图,水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨,导轨间距为 l,电阻不计,左侧接有定值电
阻R。长为 l、质量为 m、电阻为 r的导体杆,以初速度 v0沿轨道滑行,在滑行过程中保持与轨道垂直且接触良好。
整个装置处于方向竖直向上,磁感应强度大小为 B的匀强磁场中。
(1)若施加外力保持杆以 v0的速度匀速运动,则导体杆上的电流方向是怎样的?导体杆两端的电压 U是多少?
(2)不施加任何外力,在杆的速度从 v0减小到
v0
2
的过程中,求电阻 R上产生的热量 Q和通过电阻 R的电荷量 q。
(3)①证明杆的速度每减小一半所用的时间都相等。
②若杆的动能减小一半所用时间为 t0,则杆的动量减小一半所用时间是多少?
　　
答案
　
(1)从M到N
　
Bl v0R
R+r
　
(2)
3Rm v0
2
8 ( R+r)
　
m v0
2Bl
(3)①证明见解析
　②
2t0
解析
　
(1)根据右手定则可知,电流方向从 M到N,感应电动势 E=Blv0
感应电流 I=
E
R+r
导体杆两端的电压 U=
Bl v0R
R+r
。
(2)设电路产生的热量为 Q,由能量守恒定律,有
1
2
m
v0
2
=
1
2
m
(
v0
2
)
2
+Q
串联电路中,电路各部分产生的热量与电阻成正比,可得 QR=
R
R+r
Q
解得电阻 R上产生的热量 QR=
3Rm v0
2
8 ( R+r)
设该过程所用时间为 t,由动量定理有-B
I
lt=m
(
v0
2-v0
)
其中
I
-
t=q
解得通过 R的电荷量 q=
m v0
2Bl
。
(3)①设某时刻杆的速度为 v(从v0开始分析亦可),则
感应电动势 E=Blv
感应电流 I=
E
R+r
安培力 F=BIl=
B2l2v
R+r
在很短时间 Δt内,由动量定理,有FΔt=mΔv(Δv为速度变化绝对值)
可得
B2l2v
R+r
Δt=mΔv
所以在任意短时间内速度变化的比例为
Δ v
v
=
B2l2
m(R+r)
Δt
由于
B2l2
m(R+r)
为定值,所以任何相等时间内速度变化的比例都相等;
所以从任何时刻开始计算,速度减小一半所用时间都相等。
②动能减小一半,速度 v减小为
√
2v
2
,由
①
中分析可得,速度从
√
2v
2
再减小到
√
2v
2
×
√
2
2
=
v
2
所用时间仍为 t0,所
以速度减小一半所用时间为 2t0,动量减小一半所用时间也为 2t0。
　　
安培力的平均冲量计算:IA=FAt=B
I
L·t=BLq=BL
ΔΦ
R
=
B L2x
R
(R指回路中的总电阻),计算可以转化为用电
荷量 q、磁通量变化量 ΔΦ、位移 x等表示。
角度 2
　
双棒模型
(2023 年湖南卷)如图,两根足够长的光滑金属直导轨平行放置,导轨间距为 L,两导轨及其所构成的平面均与水
平面成 θ角,整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中,磁感应强度大小为 B。现将质量均为 m的金属棒
a、b垂直导轨放置,每根金属棒接入导轨之间的电阻均为 R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好,金属
棒始终未滑出导轨,导轨电阻忽略不计,重力加速度为 g。
(1)先保持棒 b静止,将棒 a由静止释放,求棒 a匀速运动时速度大小 v0。
(2)在(1)问中,当棒 a匀速运动时,再将棒 b由静止释放,求释放瞬间棒 b的加速度大小 a0。
(3)在(2)问中,从棒 b释放瞬间开始计时,经过时间 t0,两棒恰好达到相同的速度 v,求速度 v的大小,以及时间 t0内棒
a相对于棒 b运动的距离Δx。
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