专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题（原卷版）

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专题 3-1 二次函数中的 10 类定值、定点问题
二次函数背景下的定值与定点问题，解析法类似于高中，但并不超纲！因为解题方法比较特殊
同学们要专门学习和练习，才能在考场上应对自如，这些方法包括联立、转化等，对同学们的代数
功底与几何功底都有较高的要求.
知识点梳理
一、定值问题
二、定点问题
题型一 面积定值
2022·山东淄博·中考真题
2023·福建厦门三模
题型二 线段长为定值
2024 届湖北天门市九年级月考
2024 届福建龙岩市统考期中
2020·西藏·中考真题
题型二 线段和定值
2023 广州市二中月考
2022·四川巴中·中考真题
2024 届湖北黄石市·九年级统考
2023·四川乐山·统考二模
2023·海口华侨中学考模
2023·江苏徐州·4 月模拟
2022·湖南张家界·中考真题
题型三 加权线段和定值
2023·四川广元·中考真题
2020·四川德阳·中考真题
题型四 线段乘积为定值
2023·四川南充·中考真题
2024 届·武汉市东湖高新区统考
2024 届福建省福州屏东中学月考
2024 届福州市晋安区统考
2023·福建福州·校考三模
题型五 比值为定值
2023 年广西钦州市一模
2023 福建厦门一中模拟
2023 年福州市屏东中学中考模拟
武汉·中考真题
题型六 横（纵）坐标定值
2023·湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田·中考真题
2024 届湖北潜江市初 12 校联考
题型七 角度为定值
2023·成都武侯区西川中学三模
四川乐山·统考中考真题
题型八 其它定值问题
2023·浙江湖州·统考一模
2024 届福建省南平市统考
2023 年湖北省武汉市新观察中考四调
题型九 结合韦达定理求定点
2023 年湖北省武汉市外国语学校中考模拟
2024 届武汉市青山区九年级统考
2024 届武汉市新洲区 12 月统考
2024 届·福建厦门市第九中学期中
2023·武汉光谷实验中学中考模拟
2023 广东省梅州市九年级下期中
2024 届福州市九校联盟期中
2023 年湖北省武汉市新观察中考四调
题型十 已知定值求定点
2024 届武汉市洪山区九年级统考
2024 届湖北省武汉市新洲区九年级上期中
2023 年广州市天河外国语学校中考三模
知识点梳理
一、定值问题
一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:
1.参数计算法：即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用
参数表示出，然后消去参数即得定值。
2.韦达定理法：当涉及到直线(一次函数图象或 x轴)与二次函数交点时，先联立方程消去 y之后
整理得到一元二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式
用交点横坐标的和或积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。
简单的引例 1如下：若线段 AB＝x＋2，线段 PQ＝－x＋7，那么 AB＋PQ＝x＋2－x＋7＝9；即线
段AB 与线段 PQ 的和等于 9，是一个定值．
简单的引例 2如下：求证不论 m取任何实数，二次函数 y＝x²－2（m＋1）x＋m（m＋2）的
图象与 x轴的两个交点之间的距离 d为定值。通过令 y＝0，可以求得方程的两个实数根分别为 x1
＝m，x2＝m＋2，则两个交点之间的距离 d＝x1－x2＝|m－m－2|＝2，是一个定值
二、定点问题
函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图象会随着待定的系数的变化而变
化。图象变化过程中，有时始终会经过某个固定的点，定点问题是一个难点。
方法：使待定的系数 k失去影响力
【例】证明：无论 k取何值，抛物线 都经同一定点.
第一步：先找出所有含 k的项，再提公因式 k
第二步：令与 k相乘的因式为 0，此时 k就不起作用了
令 ，此时
在一个函数中，知 x可求 y，这个坐标就是定点，故无论 k取何值，函数都经过定点
总结：因为当 x取某个值时，使含 k项全部抵消了，即 k不起作用了!
【例 2】（2022·山东日照真题）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=-x2+2mx+3m，点
A（3，0）．
证明：无论 m为何值，抛物线必过定点 D，并求出点 D的坐标；
【思路点拨】将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据 2x+3=0，求得 x的值．
【详解】证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当 2x+3=0 时，即
3
2
x 
时，
9
4
y 
，
∴无论 m为何值，抛物线必过定点 D，点 D的坐标是
3 9
,
2 4
 
 
 
 
【例 3】（2022·江苏连云港·真题）已知二次函数
2
( 2) 4y x m x m  
，其中
．求证：二次
函数
2
( 2) 4y x m x m  
的顶点在第三象限
【思路点拨】先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为
2
2 8 20
,
2 4
m m m
 
   
 
 
，然后分别证明顶点坐标
的横纵坐标都小于 0即可；
【详解】解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为
2
2 8 20
,
2 4
m m m
 
   
 
 
．
∵
m>2
，∴
2 0m 
，∴
2 0m 
，∴
20
2
m
．
∵
2
2
8 20 1 ( 4) 1 1 0
4 4
m m m
     
，∴二次函数
2
( 2) 4y x m x m  
的顶点在第三象限．
题型一 面积定值
2022·山东淄博·中考真题
1．如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于 A，B两点（点 A在点 B的左侧），顶点 D（1，4）在
直线 l：y＝x+t上，动点 P（m，n）在 x轴上方的抛物线上．
　　　　　　　　　　　
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)设直线 AP，BP 与抛物线的对称轴分别相交于点 E，F，请探索以A，F，B，G（G是点 E关于x
轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着 P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面
积；若变化，说明理由．
2023·福建厦门三模
2．已知抛物线 经过点 ．
(1)求抛物线的解析式及其顶点 的坐标．
(2)将点向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点 ，若点 为抛物线上的一个动点，则以
线段为直径的圆与直线 交于点 ， ， 的面积是否为定值？若是，求出它的值；
若不是，请说明理由．
摘要：

专题3-1二次函数中的10类定值、定点问题二次函数背景下的定值与定点问题，解析法类似于高中，但并不超纲！因为解题方法比较特殊同学们要专门学习和练习，才能在考场上应对自如，这些方法包括联立、转化等，对同学们的代数功底与几何功底都有较高的要求.知识点梳理一、定值问题二、定点问题题型一面积定值2022·山东淄博·中考真题2023·福建厦门三模题型二线段长为定值2024届湖北天门市九年级月考2024届福建龙岩市统考期中2020·西藏·中考真题题型二线段和定值2023广州市二中月考2022·四川巴中·中考真题2024届湖北黄石市·九年级统考2023·四川乐山·统考二模2023·海口华侨中学考模2023·...

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