专题2-2 费马点与加权费马点详细总结(原卷版)

2025-05-14 0 0 657.91KB 16 页 10玖币
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专题 2-2 费马点与加权费马点详细总结
知识点梳理
【常规费马点】
【加权费马点】
题型一 普通费马点最值问题
题型二 加权费马点·单系数型
题型三 加权费马点·多系数型
知识点梳理
【常规费马点】
【问题提出】如图△
ABC
所有的内角都小于 120 度,在△
ABC
内部有一点
P
,连接
PA
PB
PC
当 的值最小时,求此时∠
APB
与∠
APC
的度数.
P
C
B
A
【问题处理】如图 1,将
ACP
绕着
C
顺时针旋60 度得到△
A
CP
,则
ACP
A
CP
CP
CP
A
P
A
P
,又∵∠
PCP
60°,∴
PCP
是等边三角形,
PP
PC
PA
PB
PC
P
A
PB
PP
如图 2,当且仅当点
B
P
P
A
共线时,
PA
PB
PC
最小,最小值为
A
B
此时
BPC
APC
=∠
APB
=120°
1
P'
P
B
A'
A
A
A'
B
P
P'
2
【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点费马点结论:
对于一个各角不超过 120°的三角形,费马点是对各边的张角都是 120°的点,所以三角形的费马点也叫
三角形的等角中心;
对于有一个角超过 120°的三角形,费马点就是这个内角的顶点
【如何作费马点】如图 3连接
AA
,我们发现
ACA
为等边三角形,点
P
A
B
上,同理,我们可以得
到等边△
BAB
,点
P
也在
CB
上,因此,我们可以以△
ABC
三角形任意两边为边向外构造等边三角形,相
应连线的交点即为费马点。(最大角小于 120°时)
B'
3
P
C
B
A'
A
【例 1】如图,在△ABC 中,∠ACB=90°AB=AC=1P是△ABC 内一点,求 PA+PB+PC 的最小值.
A
B
C
P
【练习 1】 如图,已知矩形 ABCDAB=4BC=6M为矩形内一点,点 EBC 边上任意一点,则
MA+MD+ME 的最小值为______
A
B
C
D
M
E
【加权费马点】
如果所求最值中三条线段的系数有不为 1的情况,我们把这类问题归为加权费马点问题,解决方法类似,
也是通过旋转进行线段转化,只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。
【类型一 单系数类】
当只有一条线段带有不为 1的系数时,相对较为简单,一般有两种处理手段,
一种是旋转特殊角度: 对应旋转 90° 对应旋转 120°
另一种是旋转放缩,对应三角形三边之比
【例 3】在等边三角形
ABC
中,边长为 4,
P
为三角形
ABC
内部一点,求 的最小值
原图
A
B
C
P
原图
A
B
C
P
【练2Rt
ABC
中,
AC
=3
BC
2
3
P
为三
ABC
部一求 的
A
B
C
P
A
B
C
P
摘要:

专题2-2费马点与加权费马点详细总结知识点梳理【常规费马点】【加权费马点】题型一普通费马点最值问题题型二加权费马点·单系数型题型三加权费马点·多系数型知识点梳理【常规费马点】【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度,在△ABC内部有一点P,连接PA、PB、PC,当的值最小时,求此时∠APB与∠APC的度数.PCBA【问题处理】如图1,将△ACP绕着点C顺时针旋转60度得到△A’CP’,则△ACP≌△A’CP’,CP=CP’,AP=A’P’,又∵∠PCP’=60°,∴△PCP’是等边三角形,∴PP’=PC,∴PA+PB+PC=P’A’+PB+PP’,如图2,当且仅当点B、P、P’、A’共...

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