专题2-2 费马点与加权费马点详细总结（原卷版）

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专题 2-2 费马点与加权费马点详细总结
知识点梳理
【常规费马点】
【加权费马点】
题型一 普通费马点最值问题
题型二 加权费马点·单系数型
题型三 加权费马点·多系数型
知识点梳理
【常规费马点】
【问题提出】如图△
ABC
所有的内角都小于 120 度，在△
ABC
内部有一点
P
，连接
PA
、
PB
、
PC
，
当 的值最小时，求此时∠
APB
与∠
APC
的度数.
P
C
B
A
【问题处理】如图 1，将△
ACP
绕着点
C
顺时针旋转 60 度得到△
A
’
CP
’，则△
ACP
≌△
A
’
CP
’，
CP
＝
CP
’，
A
P
＝
A
’
P
’，又∵∠
PCP
’ ＝60°，∴△
PCP
’是等边三角形，∴
PP
’＝
PC
， ∴
PA
＋
PB
＋
PC
＝
P
’
A
’＋
PB
＋
PP
’，
如图 2，当且仅当点
B
、
P
、
P
’、
A
’共线时，
PA
＋
PB
＋
PC
最小，最小值为
A
’
B
，此时∠
BPC
＝∠
APC
＝∠
APB
＝120°
图1
P'
P
B
A'
A
A
A'
B
P
P'
图2
【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论：
①对于一个各角不超过 120°的三角形，费马点是对各边的张角都是 120°的点，所以三角形的费马点也叫
三角形的等角中心；
②对于有一个角超过 120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．
【如何作费马点】如图 3，连接
AA
’，我们发现△
ACA
’为等边三角形，点
P
在
A
’
B
上，同理，我们可以得
到等边△
BAB
’，点
P
也在
CB
’上，因此，我们可以以△
ABC
三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相
应连线的交点即为费马点。（最大角小于 120°时）
B'
图3
P
C
B
A'
A
【例 1】如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC 内一点，求 PA+PB+PC 的最小值．
A
B
C
P
【练习 1】 如图，已知矩形 ABCD，AB=4，BC=6，点 M为矩形内一点，点 E为BC 边上任意一点，则
MA+MD+ME 的最小值为______．
A
B
C
D
M
E
【加权费马点】
如果所求最值中三条线段的系数有不为 1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，
也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。
【类型一 单系数类】
当只有一条线段带有不为 1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，
一种是旋转特殊角度： 对应旋转 90°， 对应旋转 120°
另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比
【例 3】在等边三角形
ABC
中，边长为 4，
P
为三角形
ABC
内部一点，求 的最小值
原图
A
B
C
P
原图
A
B
C
P
【练习 2】在 Rt△
ABC
中，
AC
＝3，
BC
＝2
3
，
P
为三角形
ABC
内部一点，求 的最小
值
A
B
C
P
A
B
C
P
摘要：

专题2-2费马点与加权费马点详细总结知识点梳理【常规费马点】【加权费马点】题型一普通费马点最值问题题型二加权费马点·单系数型题型三加权费马点·多系数型知识点梳理【常规费马点】【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，当的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数.PCBA【问题处理】如图1，将△ACP绕着点C顺时针旋转60度得到△A’CP’，则△ACP≌△A’CP’，CP＝CP’，AP＝A’P’，又∵∠PCP’＝60°，∴△PCP’是等边三角形，∴PP’＝PC，∴PA＋PB＋PC＝P’A’＋PB＋PP’，如图2，当且仅当点B、P、P’、A’共...

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