专题2-2 费马点与加权费马点详细总结（原卷版）
2025-05-14
4
0
657.91KB
16 页
10玖币
侵权投诉
专题 2-2 费马点与加权费马点详细总结
知识点梳理
【常规费马点】
【加权费马点】
题型一 普通费马点最值问题
题型二 加权费马点·单系数型
题型三 加权费马点·多系数型
知识点梳理
【常规费马点】
【问题提出】如图△
ABC
所有的内角都小于 120 度，在△
ABC
内部有一点
P
，连接
PA
、
PB
、
PC
，
当 的值最小时，求此时∠
APB
与∠
APC
的度数.
P
C
B
A
【问题处理】如图 1，将△
ACP
绕着点
C
顺时针旋转 60 度得到△
A
’
CP
’，则△
ACP
≌△
A
’
CP
’，
CP
＝
CP
’，
A
P
＝
A
’
P
’，又∵∠
PCP
’ ＝60°，∴△
PCP
’是等边三角形，∴
PP
’＝
PC
， ∴
PA
＋
PB
＋
PC
＝
P
’
A
’＋
PB
＋
PP
’，
如图 2，当且仅当点
B
、
P
、
P
’、
A
’共线时，
PA
＋
PB
＋
PC
最小，最小值为
A
’
B
，此时∠
BPC
＝∠
APC
＝∠
APB
＝120°
图1
P'
P
C
B
A'
A
A
A'
B
C
P
P'
图2
【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论：
①对于一个各角不超过 120°的三角形，费马点是对各边的张角都是 120°的点，所以三角形的费马点也叫
三角形的等角中心；
②对于有一个角超过 120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．
【如何作费马点】如图 3，连接
AA
’，我们发现△
ACA
’为等边三角形，点
P
在
A
’
B
上，同理，我们可以得
到等边△
BAB
’，点
P
也在
CB
’上，因此，我们可以以△
ABC
三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相
应连线的交点即为费马点。（最大角小于 120°时）
B'
图3
P
C
B
A'
A
【例 1】如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC 内一点，求 PA+PB+PC 的最小值．
A
B
C
P
【练习 1】 如图，已知矩形 ABCD，AB=4，BC=6，点 M为矩形内一点，点 E为BC 边上任意一点，则
MA+MD+ME 的最小值为______．
A
B
C
D
M
E
【加权费马点】
如果所求最值中三条线段的系数有不为 1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，
也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。
【类型一 单系数类】
当只有一条线段带有不为 1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，
一种是旋转特殊角度： 对应旋转 90°， 对应旋转 120°
另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比
【例 3】在等边三角形
ABC
中，边长为 4，
P
为三角形
ABC
内部一点，求 的最小值
原图
A
B
C
P
原图
A
B
C
P
【练习 2】在 Rt△
ABC
中，
AC
＝3，
BC
＝2
3
，
P
为三角形
ABC
内部一点，求 的最小
值
A
B
C
P
A
B
C
P
摘要：
展开>>
收起<<
专题2-2费马点与加权费马点详细总结知识点梳理【常规费马点】【加权费马点】题型一普通费马点最值问题题型二加权费马点·单系数型题型三加权费马点·多系数型知识点梳理【常规费马点】【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，当的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数.PCBA【问题处理】如图1，将△ACP绕着点C顺时针旋转60度得到△A’CP’，则△ACP≌△A’CP’，CP＝CP’，AP＝A’P’，又∵∠PCP’＝60°，∴△PCP’是等边三角形，∴PP’＝PC，∴PA＋PB＋PC＝P’A’＋PB＋PP’，如图2，当且仅当点B、P、P’、A’共...
声明：本站为文档C2C交易模式，即用户上传的文档直接被用户下载，本站只是中间服务平台，本站所有文档下载所得的收益归上传人(含作者)所有。玖贝云文库仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对上载内容本身不做任何修改或编辑。若文档所含内容侵犯了您的版权或隐私，请立即通知玖贝云文库，我们立即给予删除！
相关推荐
-
曲一线系列初中《5中考3年模拟》2023专题解释全国道德与法治资料包05专题五 走进社会生活 遵守社会规则VIP免费
2024-11-21 24 -
曲一线系列初中《5中考3年模拟》2023专题解释全国道德与法治资料包05专题五 走进社会生活 遵守社会规则VIP免费
2024-11-21 22 -
曲一线系列初中《5中考3年模拟》2023专题解释全国道德与法治资料包03专题三 青春时光 做情绪情感的主人VIP免费
2024-11-21 15 -
曲一线系列初中《5中考3年模拟》2023专题解释全国道德与法治资料包03专题三 青春时光 做情绪情感的主人VIP免费
2024-11-21 19 -
曲一线系列初中《5中考3年模拟》2023专题解释全国道德与法治资料包02专题二 友谊的天空 师长情谊VIP免费
2024-11-21 19 -
曲一线系列初中《5中考3年模拟》2023专题解释全国道德与法治资料包02专题二 友谊的天空 师长情谊VIP免费
2024-11-21 20 -
曲一线系列初中《5中考3年模拟》2023专题解释全国道德与法治资料包01专题一 成长的节拍 生命的思考VIP免费
2024-11-21 21 -
曲一线系列初中《5中考3年模拟》2023专题解释全国道德与法治资料包01专题一 成长的节拍 生命的思考VIP免费
2024-11-21 21 -
曲一线系列初中《5中考3年模拟》2023专题解释全国道德与法治资料包《53中考》全国道德与法治资料包VIP免费
2024-11-21 24 -
曲一线系列初中《5中考3年模拟》2023专题解释全国道德与法治资料包07专题七 坚持宪法至上 崇尚法治精神VIP免费
2024-11-21 18
分类：中学教育
价格：10玖币
属性：16 页
大小：657.91KB
格式：DOCX
时间：2025-05-14
相关内容
-
2025届重庆市西南大学附属中学高三下学期5月全镇模拟物理试题（含答案）
分类：中学教育
时间：2025-12-31
标签：无
格式：PDF
价格：10 玖币
-
2025届重庆市西南大学附属中学高三下学期5月全镇模拟化学试题（含答案）
分类：中学教育
时间：2025-12-31
标签：无
格式：PDF
价格：10 玖币
-
2025届浙江省新阵地联盟高三10月联考数学答案
分类：中学教育
时间：2025-12-31
标签：无
格式：PDF
价格：10 玖币
-
2025届重庆市西南大学附属中学高三下学期5月全镇模拟数学试题（含答案）
分类：中学教育
时间：2025-12-31
标签：无
格式：PDF
价格：10 玖币
-
2025届重庆康德三诊英语+答案
分类：中学教育
时间：2026-01-03
标签：无
格式：PDF
价格：10 玖币
渝公网安备50010702506394
