专题06三角形全等、相似及综合应用模型（解析版）

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专题 06 三角形全等、相似及综合应用模型

题型解读｜模型构建｜通关试练

三角形的相关知识是解决后续很多几何问题的基础，所以是中考考试的必考知识点。在考察题型上，

三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质

等。特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角

形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。直角三角形的出题类型可以是选择填空题

这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。

模型 01 与三角形有关的线段应用

高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）

∠ADB=∠ADC=90°

∠BAD=∠DAC=

∠BA

AD=DB AE=EC

S△ABD=S△ADC

C∆ ACD −C∆ ABD=AC−AB

DE=

BC DE∥BC

模型 02 与三角形有关的角的应用

（1）三角形的内角：

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大

于0°且小于 180°．

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是 180°．

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平

行线．

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法

求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

（2）三角形的外角：

（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．

（2）三角形的外角性质：

①三角形的外角和为 360°．

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．

（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．

（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．

模型 03 三角形全等的判定及应用

（1）全等三角形的定义：

全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

（2）全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，全等三角形对应角相等。

（3）全等三角形的判定：

（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等

（简写成“角角边”或“AAS”）

（4）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

模型 04 三角形相似的判定及综合应用

（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时

要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．

（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

模型 05 三角形折叠问题探究

三角形折叠模型（一）三角形折叠模型（二）三角形折叠模型（三）

∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或 ∠C=

（∠1+∠2）

2∠C=∠2-∠1或 ∠C=

（∠2-∠1）

模型 06 三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）

该模型重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合

经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。

（1）手拉手模型：

将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，

也叫旋转型全等。其中：公共顶点 A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为

“左手”，第二个顶点记为“右手”。

手拉模型解题思路：SAS 型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。

（2）半角模型：

1、半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。

2、模型特征：等线段，共端点，含半角

3、思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。

4、解题思路：一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，

然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出

现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。

模型 01 与三角形有关的线段应用

考｜向｜预｜测

与三角形有关的线段应用该题型近年主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中都以

基础或中档题为主。解这类问题的关键是了解三角形的高线、角平分线、中线、中位线的性质，结合

三角形的性质及相关判定定理与推论进行解题。

答｜题｜技｜巧

第一步：

根据题意，判定所考察的知识点

第二步：结合三角形的高线、角平分线、中线、中位线的性质进行解题；

第三步：

进行相关计算解决问题

例1.（2022·安徽）如图，和是的中线，则以下结论：① ；② 是的重心；③

与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结

论有（）

A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥

【答案】B

【详解】解：∵和是的中线，

∴，分别为，的中点，

∴，，故①正确；

∵和是的中线，

∴点是的重心，故②正确；

∵，

∴，故③正确；

∵点是的重心，

∴过的直线平分线段，故④正确；

根据已知条件无法判定，，故⑤，⑥错误．

故选：B．

例2．（2023•辽宁）如图：在△ABC 中，∠ABC＝45°，AD，BE 分别为BC、AC 边上的高，AD、BE 相交

于点 F．下列结论：①∠FCD＝45°；② AE＝EC；③ S△ABF：S△AFC＝AD：FD；④若 BF＝2EC，则 BC＝

AB．正确结论的序号是（　　）

A．①③④B．①②④C．②③④D．①②

【答案】A

【详解】解：∵AD⊥BC，

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摘要：

专题06三角形全等、相似及综合应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练三角形的相关知识是解决后续很多几何问题的基础，所以是中考考试的必考知识点。在考察题型上，三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。模型01与三角形有关的线段应用高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）...

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