专题10函数的综合应用题型总结（解析版）

2025-05-14 0 0 7.59MB 48 页 10玖币

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专题 10 函数的综合应用题型总结

题型解读｜模型构建｜通关试练

本专题主要对初中阶段学习的几大函数的中招常考题型进行整理、分析，从出题人的角度分析下函数

在中招考试中的定位.一次函数是初中阶段接触函数的基础，一次函数的图象和性质在考试中主要是以选择、

填空题的基础题型形式出现，解答题中一次函数常与方程、不等式等结合，一般会涉及到结合函数性质进

行讨论.反比例函数从表达式上较为简单，基础题型中反比例的几何意义是考试的重点，解答题中常与几何

结合，主要是涉及到面积问题、动点问题等.二次函数具有一定的难度，二次函数的图形和性质是必考点，

两种常考的表达形式需要学生灵活应用，二次函数的实际应用在近年的中招考试中出现次数较多，在实际

应用题型中需要学生具有一定的基础运算能力.二函数的图象与性质探究，主要涉及到取值范围、交点问题、

动点问题等讨论形式，本专题根据考试题型分类归纳总结.

模型 01 一次函数的性质与应用

一、一次函数的图象与性质

函数字母取值图象经过的象限函数性质

y=kx+b

(k≠0)

k>0，b>0 一、二、三

y随x的增大而增

大

k>0，b<0 一、三、四

y=kx+b

(k≠0)

k<0，b>0 一、二、四

y随x的增大而减

小

k<0，b<0 二、三、四

一次函数 y=kx+b(k≠0)当b=0时为正比例函数，正比例函数是一次函数是一次函数的特殊形式，k>0 时，图

象过一三象限，k<0 时图象过二四象限.

二、一次函数的应用

1．主要题型：（1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．

2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：

（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确

定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．

3．方案最值问题：

对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出

某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．

4．方法技巧

求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；

（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方

案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．

显然，第（2）种方法更简单快捷．

模型 02 反比例函数的性质与应用

一、反比例函数的图象与性质

反比例函数

y=k

(

k≠0

)

的图象是由两个分支组成的曲线，

双曲线

y=k

x(k≠0)

k＞0

k＜0

图象

位于第一、三象限位于第二、四象限

自变量 x

的取值范围

x＜0

增减性在其每一象限内，y随x的增大而减

小

在其每一象限内，y随x的增大而增大

中心对称性反比例函数图象是中心对称图形，对称中心为原点

轴对称性反比例函数图象是轴对称图形，对称轴为直线

y=±x

二、反比例函数

y=k

x(k≠0)

的几何意义：

SRt △AOP=|k|

S矩形 AOBP=|k|

三、反比例函数的应用：

反比例函数的应用考查热点主要有：反比例函数的性质及其解析式的确定；反比例函数与一次函

数交点的综合应用；反比例函数与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明.以实际情境为模型的

反比例函数，自变量取值范围必须符合题目条件并且具有实际意义，因此，此时的图象可能是反比例

函数图象的一部分.

模型 03 二次函数的图象性质应用（最值问题、交点问题、存在性问题）

二次函数的图象与性质，主要总结两种常考的形式，一般式和顶点式；

1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点．

2．二次函数一般式

y ax bx c  

( 0a 

的性质：

配方：二次函数

2 2

( )

2 4

b ac b

y ax bx c a x a a



     

a的

符号

开口

方向顶点坐标对称轴增减性

0a

向上（，）

 

时，y随x的增大而增

大；

 

时，y随x的增大而减

小；

 

时，y有最小值

ac b



．

0a

向下（，

）

时，y随x的增大而减

小；

时，y随x的增大而增

大；

时，y有最大值

．

4．二次函数顶点式 ( )的性质：

a的

符号

开口

方向

顶点

坐标

对称轴增减性

向上（h，k

）x=h

时，y随x的增大而增大；时，y随x的

增大而减小；时，y有最小值 k．

向下（h，k

）x=h

时，y随x的增大而减小；时，y随x的

增大而增大；时，y有最大值 k．

模型 04 二次函数的实际应用

二次函数的实际应用以顶点式 ( )为主，首先根据题意中的顶点坐标及其它点坐标

求二次函数表达式是第一问经常考的题型，二次函数应用题型中有营销问题，球类运动问题，喷泉问题、

拱形桥或桥洞问题等.在解题时除了要求学生对二次函数的性质真正的理解，解题中会涉及些计算，需要同

学们认真、细致.

模型 01 一次函数的性质与应用

考｜向｜预｜测

一次函数的性质与应用题型中图象与性质在选择和填空中考的较多，一次函数的应用主要是综合性应

用，一次函数与方程、不等式结合去考，解答题中会经常考到.在解题时需要同学们对一次函数的图象

与性质真正理解.所考题型难度中等，相对较容易得分.

答｜题｜技｜巧

第一步：审题.认真读题，分析题中各个量之间的关系；

第二步：找准自变量和因变量，根据二者之间的关系确定表达式；

第三步：

列函数.根据各个量之间的关系列出函数；

第四步：求解，求出满足题意的数值.

例1．（2023·广东）如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入

水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是（

）

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摘要：

专题10函数的综合应用题型总结题型解读｜模型构建｜通关试练本专题主要对初中阶段学习的几大函数的中招常考题型进行整理、分析，从出题人的角度分析下函数在中招考试中的定位.一次函数是初中阶段接触函数的基础，一次函数的图象和性质在考试中主要是以选择、填空题的基础题型形式出现，解答题中一次函数常与方程、不等式等结合，一般会涉及到结合函数性质进行讨论.反比例函数从表达式上较为简单，基础题型中反比例的几何意义是考试的重点，解答题中常与几何结合，主要是涉及到面积问题、动点问题等.二次函数具有一定的难度，二次函数的图形和性质是必考点，两种常考的表达形式需要学生灵活应用，二次函数的实际应用在近年的中招考试中出现次...

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