专题24 相似三角形及其应用【二十个题型】（举一反三）（原卷版）

2025-05-14 0 0 2.04MB 38 页 10玖币
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专题 24 相似三角形及其应用【二十大题型】
【题型 1 选择或添加条件使两个三角形相似】.......................................................................................................4
【题型 2 利用相似的性质求值】................................................................................................................................5
【题型 3 利用相似的性质求点的坐标】....................................................................................................................6
【题型 4 相似三角形在网格中的运用】....................................................................................................................7
【题型 5 与相似三角形有关的证明】........................................................................................................................9
【题型 6 利用相似三角形的性质求解决折叠问题】.............................................................................................12
【题型 7 利用相似三角形的性质判断函数图象】.................................................................................................13
【题型 8 尺规作图与相似三角形综合应用】.........................................................................................................15
【题型 9 三角板与相似三角形综合应用】..............................................................................................................16
【题型 10 平移与相似三角形综合应用】.................................................................................................................18
【题型 11 利用相似三角形的性质与判定求线段比值】........................................................................................19
【题型 12 利用相似三角形的性质与判定求最值】................................................................................................20
【题型 13 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题】....................................................................................22
【题型 14 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题】................................................................................23
【题型 15 相似三角形的常见模型之（双）A字模型】.........................................................................................25
【题型 16 相似三角形的常见模型之（双）8字模型】..........................................................................................26
【题型 17 相似三角形的常见模型之 K字模型】....................................................................................................28
【题型 18 相似三角形的常见模型之母子型】........................................................................................................30
【题型 19 相似三角形的常见模型之旋转相似模型】............................................................................................32
【题型 20 相似三角形的实际应用】........................................................................................................................33
【知识点 相似三角形及其应用】
1.相似三角形的性质与判定
相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号
“∽”，读作“相似于”.
相似三角形的判定方法：
1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2）两个三角形相似的判定定理：
① 三边成比例的两个三角形相似；
② 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③ 两角分别相等的两个三角形相似．
④ 斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.
相似三角形的性质：
1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
3）相似三角形周长的比等于相似比.
4）相似三角形面积比等于相似比的平方.
判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；
3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；
4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例．
2.相似三角形的常见模型
模型 图形 结论 证明过程（思路）
A字
模型
2
1
已知：∠1=∠2
已知：DE∥BC
反A字模型
正A字模型
E
C
B
D
A
D
ADE ABC①△ ∽△
②
AD
AB =AE
AC =DE
BC
1)已知 DE BC ∥则
∠ADE= ABC∠
而∠A= A ∠所以
△ADE∽△ABC
2) 已知∠1= 2 A= A∠ ∠ ∠
所以△ADE∽△ABC
2
1
1
2
剪刀反A字模型
共边反A字模型
已知：∠1=∠2
已知：∠1=∠2
E
D
B
C
A
A
B
C
D
共边反 A字模型
①△ABC∽△ACD ②
AB
AC =AC
AD =BC
CD
AC③2=AB•AD
剪刀反 A字模型
①△ABC∽△ADE ②
AB
AD =AC
AE =BC
DE
证明过程参照按照 2）
8字
模型
正8字模型
①△AOB∽△COD ②
AO
CO =BO
DO =AB
CD
反8字模型
①△AOB∽△DOC ②
AO
DO =BO
CO =AB
CD
3)已知 AB DC ∥则∠A= C∠
而∠AOB= DOC ∠所以
△AOB∽△COD
4) 已知∠1= 2 ∠
AOB= DOC∠ ∠
所以△AOB∽△DOC
一线
三垂
直
4
3
2
1
3
2
1
已知：∠B=∠D=∠ACE=90°
E
E
B
D
D
B
A
C
A
C
①△ABC∽△CDE
②
AB
CD =BC
DE =AC
CE
③当点C为BD 中点时，
△ABC∽△CDE∽△ACE
5) B= D= ACE=90°∵∠ ∠ ∠
1+ 2=90° 2+ 3=90°∴∠ ∠ ∠ ∠
则∠1= 3 ∠由此可得
△ABC∽△CDE
6) ∵△ABC∽△CDE
∴
AB
CD =AC
CE
而点 C为BD 中点
则
AB
BC =AC
CE
又∵
∠B= ACE=90°∠
∴△ABC∽△ACE 则
△ABC∽△CDE∽△ACE
三角
形内
接矩
形
①△ABC∽△ADG
②
AD
AB =AG
AC =DG
BC =AM
AN
③若四边形 DEFG 为正方形
即
DG
BC
=
AM
AN
若假设 DG=x
则
x
BC
=
AN −x
AN
若已知
BC、AN 长，即可求出 x的值
7)∵四边形 DEFG 为矩形
DG∴BC ∥而AN BC⊥
∴△ABC∽△ADG
AMG= ANC=90°∠ ∠
∴AD
AB =AG
AC =DG
BC
=
AM
AN
2
1
反8字模型
正8字模型
已知：AB∥CD
已知：∠1=∠2
C
C
O
A
D
B
A
O
B
D
已知：四边形DEFG为矩形，AN⊥BC
N
M
F
E
G
B
C
A
D
旋转
相似
模型
2
1
已知：∆ADE~∆ABC
D
E
B
C
A
①△ABD∽△ACE ∵△ADE∽△ABC
BAC= DAE ∴∠ ∠
AD
AB =AE
AC
而
∠1+ DAC= BAC∠ ∠ ，∠2+ DAC∠
= DAE∠
∴1= 2∠ ∠
∴△ABD∽△ACE
3.相似三角形的应用
（1）.利用影长测量物体的高度．
① 测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相
等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
② 测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）.利用相似测量河的宽度（测量距离）．
① 测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线
上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．
② 测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）.借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为
三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
【题型 1 选择或添加条件使两个三角形相似】
【例 1】（2023·吉林长春·统考模拟预测）在
△ABC
中，
∠ACB=90 °
，用直尺和圆规在
AB
上确定点
D
，
使
△ACD ∽ △CBD
，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式 1-1】（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知
△ABC
与
△ADE
中，
∠C=∠AED=90 °
，点 E
在AB 上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定
△ABC
与
△ADE
相似的是（ ）
A．
∠CAB=∠D
B．
AC
BC =DE
AE
C．
AD ∥BC
D．
BC
AC =AD
AE
【变式 1-2】（2023·福建龙岩·统考一模）如图，点 D为△ABC 外一点，AD 与BC 边的交点为 E，AE＝
3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点 B，D的对应点为 A，C，那么线段 CE 的长应等于 ．
【变式 1-3】（2023·山东潍坊·校考一模）如图所示，
AB
是
⊙O
的直径，
D、E
是半圆上任意两点，连接
AD 、DE, AE
与
BD
相交于点
C
，若添加一个条件使
△ADC
与
△ABD
相似，则可添加下列条件中的（　
）
A．
´
DE=´
BE
B．
AD=DE
C．
AB // DE
D．
A D2=BC ⋅CD
摘要：

专题24相似三角形及其应用【二十大题型】【题型1选择或添加条件使两个三角形相似】.......................................................................................................4【题型2利用相似的性质求值】................................................................................................................................5【题型3利用相似的性质求点...

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