专题06 立体几何（解答题）（解析版）

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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

专题 05 立体几何（解答题）

立体几何在理科数解答题中一般出现在 20 题左右的位置。主要考查空间几何体对应的空间角问题，考查二

面角的频率比较大。

1．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）如图，在正四棱柱中，．点分

别在棱 ,上，．



(1)证明：；

(2)点在棱上，当二面角为时，求．

【答案】(1)证明见解析；

(2)1

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；

（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.

【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，



则，

，

又不在同一条直线上，

（2）设，

则，

设平面的法向量，

则，

令，得，

，

设平面的法向量，

则，

令，得，

，

化简可得，，

解得或，

或，

2．（20203 全国·统考新课标Ⅱ卷）如图，三棱锥中，，，

，E为BC 的中点．



(1)证明：；

(2)点F满足，求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2) ．

【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得；

（2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角

坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．

【详解】（1）连接，因为 E为BC 中点，，所以 ①，

因为，，所以与均为等边三角形，

，从而 ②，由①②，，平面，

所以，平面，而平面，所以．

（2）不妨设，，．

，，又，平面平面．

以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：



设，

设平面与平面的一个法向量分别为，

二面角平面角为 ,而，

因为，所以，即有，

，取，所以；

，取，所以，

所以，，从而．

所以二面角的正弦值为．

3．（2023·全国·统考高考乙卷）如图，在三棱锥中，，，，

，BP，AP，BC 的中点分别为 D，E，O，，点 F在AC 上， .



(1)证明：平面；

(2)证明：平面平面 BEF；

(3)求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3) .

【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

（2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点

作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出点坐标，再

求出平面与平面 BEF 的法向量，由即可证明；

（3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求

出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.

【详解】（1）连接，设，则，，

，

则，

解得，则为的中点，由分别为的中点，



于是，即，则四边形为平行四边形，

，又平面平面，

所以平面 .

（2）法一：由（1）可知，则，得，

因此，则，有，

又，平面，

则有平面，又平面，所以平面平面 .

法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，

，

在中，，

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摘要：

1五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题05立体几何（解答题）立体几何在理科数解答题中一般出现在20题左右的位置。主要考查空间几何体对应的空间角问题，考查二面角的频率比较大。1．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． (1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．【答案】(1)证明见解析；(2)1【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，2 则，，，又不在同一条直线上，.（2）设，则，设平面的法向量，则，令，得，，设...

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