专题06 立体几何（解答题）（解析版）

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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 05 立体几何（解答题）
立体几何在理科数解答题中一般出现在 20 题左右的位置。主要考查空间几何体对应的空间角问题，考查二
面角的频率比较大。
1．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）如图，在正四棱柱 中， ．点 分
别在棱 ,上， ．

(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设 ，利用向量法求二面角，建立方程求出 即可得解.
【详解】（1）以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，
2

则 ，
，
，
又 不在同一条直线上，
.
（2）设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
，
化简可得， ，
解得 或 ，
或 ，
3
.
2．（20203 全国·统考新课标Ⅱ卷）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC 的中点．

(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）根据题意易证 平面 ，从而证得 ；
（2）由题可证 平面 ，所以以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角
坐标系，再求出平面 的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．
【详解】（1）连接 ，因为 E为BC 中点， ，所以 ①，
因为 ， ，所以 与 均为等边三角形，
，从而 ②，由①②， ， 平面 ，
所以， 平面 ，而 平面 ，所以 ．
（2）不妨设 ， ， ．
， ，又 ， 平面 平面 ．
以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设 ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ，
4
二面角 平面角为 ,而 ，
因为 ，所以 ，即有 ，
，取 ，所以 ；
，取 ，所以 ，
所以， ，从而 ．
所以二面角 的正弦值为 ．
3．（2023·全国·统考高考乙卷）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，BP，AP，BC 的中点分别为 D，E，O， ，点 F在AC 上， .

(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 BEF；
(3)求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3) .
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点
作 轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，所以由 求出 点坐标，再
5
求出平面 与平面 BEF 的法向量 ，由 即可证明；
（3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求
出平面 与平面 的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）连接 ，设 ，则 ， ，
，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，

于是 ，即 ，则四边形 为平行四边形，
，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）法一：由（1）可知 ，则 ，得 ，
因此 ，则 ，有 ，
又 ， 平面 ，
则有 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
法二：因为 ，过点 作 轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在 中， ，
在 中， ，
摘要：

1五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题05立体几何（解答题）立体几何在理科数解答题中一般出现在20题左右的位置。主要考查空间几何体对应的空间角问题，考查二面角的频率比较大。1．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．  (1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．【答案】(1)证明见解析；(2)1【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，2  则，，，又不在同一条直线上，.（2）设，则，设平面的法向量，则，令，得，，设...

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