专题15 概率与统计（解答题）（解析版）

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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

专题 15 概率与统计（解答题）

概率与统计题型主要包含二项式定理，排列组合，随机抽样，统计与概率等主要考查题型为：

考点 01 统计案例及应用

考点 02 随机事件分布列

考点 03 相关关系与回归分析

考点 04 独立性检验

考点 05 概率统计的综合应用

考点 01：统计案例及应用

1．(2022 高考北京卷)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上

(含 )的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比

赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：

甲：9．80，9．70，9．55，9．54，9．48，9．42，9．40，935，9．30，9．25；

乙：9．78，9．56，9．51，9．36，9．32，9．23；

丙：9．85，9．65，9．20，9．16．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．

(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(2)设 X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 X的数学期望 E(X)；

(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)

【答案】

【解析】:(1)由频率估计概率可得

甲获得优秀的概率为 0．4，乙获得优秀的概率为 0．5，丙获得优秀的概率为 0．5，故答案为 0．4

(2)设甲获得优秀为事件 A1,乙获得优秀为事件 A2，丙获得优秀为事件 A3

，

．

∴X的分布列为

X0 1 2 3

∴

(3)丙夺冠概率估计值最大．

因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩．比赛一次，丙获得 9．85 的概率为，甲获得 9．80 的概

率为，乙获得 9．78 的概率为．并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙

越有利．

2．(2023 年全国乙卷理科)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10 次配对试验，

每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，

测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，

．试验结果如下：

试验序号 12345678910

伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548

伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536

记，记

的

样本平均数为，样本方差为．

(1)求，；

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果

，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提

高，否则不认为有显著提高)

【答案】(1) ，；

(2)认为甲工艺处理后

的

橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．

【解析】：(1) ，

，

的值分别为: ，

故

(2)由(1)知:，，故有 ,

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．

3．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被

淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负

者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，

另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为，

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率．

【答案】(1) ；(2) ；(3) ．

【解析】：”(1)记事件甲连胜四场，则；

(2)记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，

则四局内结束比赛的概率为

，

所以，需要进行第五场比赛的概率为；

(3)记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，

记事件甲赢，记事件丙赢，

则甲赢的基本事件包括：、、、

、、、、，

所以，甲赢

的

概率为．

由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，

所以丙赢的概率为．

4．(2021 年高考全国乙卷理科)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标

有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设

备9．8 10．310

0 10

29．9 9．8 10．0 10．1 10．2 9．7

新设

备10

1 10．4 10．1 10．0 10．1 10．3 10．6 10．5 10．4 10．5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．

(1)求，，，；

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果，则认

为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．

【答案】(1) ；(2)新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备

有显著提高．

【解析】：(1) ，

，

．

(2)依题意，，，

，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．

5．(2021 年新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在

两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从

另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问

题回答正确得20 分，否则得 0分：B类问题中的每个问题回答正确得80 分，否则得 0分，己知小明能

正确回答A类问题的概率为 0．8，能正确回答B类问题的概率为 0．6，且能正确回答问题的概率与回

答次序无关．

(1)若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；

(2)为使累计得分

的

期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．

【答案】【解析】：(1)由题可知，的所有可能取值为，，．

；

．

所以的分布列为

(2)由(1)知，．

若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．

；

．

所以．

因为，所以小明应选择先回答类问题．

6．(2022 新高考全国 II 卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100 位某种疾病患者的年龄，得到如

下的样本数据的频率分布直方图：

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摘要：

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题15概率与统计（解答题）概率与统计题型主要包含二项式定理，排列组合，随机抽样，统计与概率等主要考查题型为：考点01统计案例及应用考点02随机事件分布列考点03相关关系与回归分析考点04独立性检验考点05概率统计的综合应用考点01：统计案例及应用1．(2022高考北京卷)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上(含)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：甲：9．80，9．70，9．55，9．54，9．48，9．42，9．40，935，9．30，...

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