第九届数学竞赛预赛试题及参考答案(非数学类)
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2017 年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案
一1. ,
( )
f x
解： 在方程两边求导得
'( ) cos + ( )sin 1
f x x f x x
=
,
'( )+ ( ) tan sec
f x f x x x
=
.
tan tan
( ) sec
xdx xdx
f x e xe dx c
−
∫ ∫
= +
∫
ln cos ln cos
2
1 1
= = cos
cos cos
x x
e e dx c x dx c
x x
− −
+ +
∫ ∫
(
)
= cos tan = sin cos
x x c x c x
+ +
(0) 1
f
=
( ) sin cos
f x x x
= +
2
(
)
nn
n+
∞→
22
sinlim
π
(
)
=+ nn22
sin
π
(
)
ππ
nnn −+
22
sin
=
2
2
sin 1
n
n n n
π
→
+ +
3.
( , )
w f u v
=
= = +
u x cy v x cy
−
，
c
2
1
xx yy
w w
c
−
=_________
:
1 2
+
x
w f f
=
11 12 22
2
xx
w f f f
= + +
2 1
( )
y
w c f f
= −
( ) ( ) ( )
2
2 1 11 12 21 22 11 12 22
= 2
yy
w c f f c cf cf cf cf c f f f
y
∂
= − = − − + − +
∂
12
2
1
=4
xx yy
w w f
c
−
4. 设
设设
设
( )
f x
有二阶导数连续，且
(0) '(0) 0, "(0) 6
f f f
= = =
，则
2
4
0
(sin )
lim
x
f x
x
→=______
解：
2
1
( ) (0) '(0) "( )
2
f x f f x f x
ξ
= + +
，所以
2 4
1
(sin ) "( )sin
2
f x f x
ξ
=
。
这样
2 4
4 4
0 0
(sin ) "( )sin
lim =lim 3
2
x x
f x f x
x x
ξ
→ →
=
。
5
sin
2
sin 2
(1 sin )
x
e x
I dx
x
−
=−
∫
=________.
:
sin
2
sin cos
2(1 sin )
x
e x x
I dx
x
−
=−
∫sin
2
2(1 )
v
x v
ve
dv
v
−
=
=−
∫2
( 1 1)
2(1 )
v
v e
dv
v
−
− +
=−
∫
2
2 2
1 ( 1)
v v
e e
dv dv
v v
− −
= +
− −
∫ ∫
1
2 2
1 1
v
v
edv e d
v v
−
−
= −
− −
∫ ∫
1
2 2 +
1 1 1
v v
v
e e
dv e dv
v v v
− −
−
= −
− − −
∫ ∫ sin
2 2
+ = +
1 1 sin
v x
e e
C C
v x
− −
= − − −
6.
2 2 2
z x y
= +
2 2
4
z x y
= − −
V
V
zdxdydz
∫∫∫
2 /4 2 2
0 0 0
/4 2
2 4
0 0
= cos sin
1 1
2 sin 2
2 4
V
I zdxdydz d d d
π π
π
θ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ
π ϕ ρ π
= ⋅
= ⋅ ⋅ =
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
14 )
( , )
f x y
.
α
( ) ( cos , sin )
g t f t t
α
α α
=.
α
(0)
0
dg
dt
α
=
2
2
(0)
0
d g
dt
α
>
. )0,0(f
( , )
f x y
.
( )
(0,0)
cos
(0)
, 0
sin
x y
dg f f
dt
α
α
α
= =
α
)0,0(),(
)0,0(
=
yx
ff ,
)0,0(
( , )
f x y
. -----4
摘要：
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2017年数学竞赛预赛（\b数学类）试题评分标准及参考答案 一1. 已知可导函数满\b, 则\b)fx解： 在方程两边求导得 '\b)cos+\b)sin1fxxfxx=,'\b)+\b)tansecfxfxxx=. 从而tantan\b)secxdxxdxfxexedxc−∫∫=+∫ lncoslncos211==coscoscosxxeedxcxdxcxx−−++∫∫ ()=costan=sincosxxcxcx++由于\b0)1f=，故\b)sincosfxxx=+。 2．求()nnn+∞→22sinlimπ解 由于()=+n...
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