2014 年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案

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1
2014 年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案
一 填空题(共有 5小题, 每小题 6分,共30 分)
（1） 已知 1
x
ye
=
和2
x
yxe
=是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是___________.
答案:
()2()()0
yxyxyx
-+=
[参考解答] 由题设知该方程的特征方程有二重根
1
r
=
，故所求微分方程是
()2()()0
yxyxyx
-+=
.
（2）设有曲面
22
:2
Szxy
=+ 和平面
:220
Lxyz
++=
, 则与
L
平行的
S
的切平面方程是________.
答案: 3
220
2
xyz
+++=
[参考解答] 设
0000
(,,)
Pxyz
为
S
上一点, 则
S
在
0
P
的切平面方程是
00000
2()4()()0
xxxyyyzz
----+-=
.
由于该切平面与已知平面
L
平行, 则00
(2,4,1)
xy-- 平行于
(2,2,1)
, 故存在常数
0
k
¹
使得
00
(2,4,1)(2,2,1)
xyk--= , 从而
1
k
=
. 故得 0
1
x
=-
, 0
1
2
y
-
=, 这样就有 0
3
2
z
=
. 所求切面方程是
3
220
2
xyz
+++=
.
（3）设函数
()
yyx
=
由方程 2
1sin 4
yx t
xdt
p
-
æö
=
ç÷
èø
ò所确定，求
0x
dy
dx =
=
.
答案:
3
y
¢
=
[参考解答] 易知在
(0)1
y
=
. 对方程的两边关于
x
求导，得 2
1sin()(1),
4yxy
p
æö
¢
=--
ç÷
èø
于是
2
csc()1
4
yyx
p
æö
¢
=-+
ç÷
èø
，把
0
x
=
代入上式，得
3
y
¢
=
.
（4）设
1
(1)!
n
nk
k
xk
=
=
+
å，则
lim
n
n
x
®¥ =___________.
答案：1
[参考解答]
1
(1)!
n
nk
k
xk
=
=
+
å=
1
11
!(1)!
n
kkk
=
æö
-
ç÷
+
èø
å
11111111
111
2!2!3!3!4!!(1)!(1)!nnn
æö
æöæöæö
=-+-+-++-=-®
ç÷
ç÷ç÷ç÷ ++
èøèøèø
èø
L.
摘要：

12014年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案一填空题(共有5小题,每小题6分,共30分)（1）已知1xye=和2xyxe=是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是___________.答案:()2()()0yxyxyx¢¢¢-+=[参考解答]由题设知该方程的特征方程有二重根1r=，故所求微分方程是()2()()0yxyxyx¢¢¢-+=.（2）设有曲面22:2Szxy=+和平面:220Lxyz++=,则与L平行的S的切平面方程是________.答案:32202xyz+++=[参考解答]设0000(,,)Pxyz为S上一点,则S在0P的切平面方程是000002()4()()0xxxyy...

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