2014 年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案

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一填空题(共有 5小题, 每小题 6分,共30 分)

（1）已知 1

和2

yxe

=是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是___________.

答案:

()2()()0

yxyxyx

¢¢¢

-+=

[参考解答] 由题设知该方程的特征方程有二重根

，故所求微分方程是

()2()()0

yxyxyx

¢¢¢

-+=

（2）设有曲面

Szxy

=+ 和平面

:220

Lxyz

++=

, 则与

平行的

的切平面方程是________.

答案: 3

220

xyz

+++=

[参考解答] 设

0000

(,,)

Pxyz

为

上一点, 则

在

的切平面方程是

00000

2()4()()0

xxxyyyzz

----+-=

由于该切平面与已知平面

平行, 则00

(2,4,1)

xy-- 平行于

(2,2,1)

, 故存在常数

使得

(2,4,1)(2,2,1)

xyk--= , 从而

. 故得 0

, 0

=, 这样就有 0

. 所求切面方程是

220

xyz

+++=

（3）设函数

()

yyx

由方程 2

1sin 4

yx t

xdt

æö

ç÷

èø

ò所确定，求

dx =

答案:

[参考解答] 易知在

(0)1

. 对方程的两边关于

求导，得 2

1sin()(1),

4yxy

æö

=--

ç÷

èø

于是

csc()1

yyx

æö

=-+

ç÷

èø

，把

代入上式，得

（4）设

(1)!

å，则

lim

®¥ =___________.

答案：1

[参考解答]

(1)!

å=

!(1)!

kkk

æö

ç÷

èø

11111111

111

2!2!3!3!4!!(1)!(1)!nnn

æö

æöæöæö

=-+-+-++-=-®

ç÷

ç÷ç÷ç÷ ++

èøèøèø

èø

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摘要：

12014年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案一填空题(共有5小题,每小题6分,共30分)（1）已知1xye=和2xyxe=是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是___________.答案:()2()()0yxyxyx¢¢¢-+=[参考解答]由题设知该方程的特征方程有二重根1r=，故所求微分方程是()2()()0yxyxyx¢¢¢-+=.（2）设有曲面22:2Szxy=+和平面:220Lxyz++=,则与L平行的S的切平面方程是________.答案:32202xyz+++=[参考解答]设0000(,,)Pxyz为S上一点,则S在0P的切平面方程是000002()4()()0xxxyy...

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