2015 年第七届预赛（非数学类）参考答案

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2015 年第七届预赛（非数学类）参考答案
一、每小题 6分，共计 30 分。
(1)极限 22 2
2
sin sin sin 2
lim 12
n
nn
nnn nn
πππ
π
→∞
⎛⎞
⎜⎟
+++ =
⎜⎟
++ +
⎜⎟
⎝⎠
L。
解：由于
11
sin
1sin
1
nn
ii
i
ini
nn
nn
π
π
==
≤
+
+
∑∑ 1
1sin ,
n
i
i
nn
π
=
≤∑而
1
1
lim sin
1
n
ni
i
nn
π
→∞ =
+∑=0
1
12
lim sin sin
(1)
n
ni
ni xdx
nn n
π
ππ
π
ππ
→∞ =
=
=
+∑∫，
1
1
lim sin
n
ni
i
nn
π
→∞ =
=
∑1
1
lim sin
n
ni
i
nn
π
π
π
→∞ =
∑0
12
sin xdx
π
π
π
=
∫。
所以所求极限是2.
π
（2）设函数 (, )zzxy=由方程 (,)0
zz
Fx y
yx
+
+=所决定，其中 (,)Fuv具有连续偏导
数，且 0
uv
xF yF+≠
。则zz
x
yzxy
xy
∂∂
+=−
∂∂ 。（本小题结果要求不显含 F及其
偏导数）
解：方程对 x求导，得到 2
11
10
uv
zzz
FF
yx xx x
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
⎟
⎜⎟
⎜
+⎟+ − =
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟
⎜
⎜⎟
⎜⎝⎠
∂∂
⎝⎠
即
2
()
vu
uv
zyzFxF
x
x
xF yF
∂−
=
∂+
。
同样，方程对 y求导，得到
2
()
uv
uv
zxzFyF
y
y
xF yF
∂−
=
∂+
。
于是 ()()
uv uv
uv
z zzxFyF xyxFyF
x
yzxy
x y xF yF
∂∂ +− +
+= =−
∂∂ +
（3）曲面 22
1zx y=++在点 M(1,‐1,3)的切平面与曲面 22
zx y
=
+所围区域的体积为
2
π
。
摘要：

        2015年第七届预赛（非数学类）参考答案 一、每小题6分，共计30分。 (1) 极限2222sinsinsin2lim12nnnnnnnnππππ→∞⎛⎞⎜⎟+++=⎜⎟+++⎜⎟⎝⎠L 。 解：由于 11sin1sin1nniiiininnnnππ==≤++∑∑11sin,niinnπ=≤∑而 11limsin1nniinnπ→∞=+∑=0112limsinsin(1)nninixdxnnnππππππ→∞===+∑∫， 11limsinnniinnπ→∞==∑11limsinnniinnπππ→∞==∑012sinxdxπππ=∫。 所以所求极限是 2.π （2）设函数(,...

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