2015 年第七届预赛（非数学类）参考答案

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2015 年第七届预赛（非数学类）参考答案

一、每小题 6分，共计 30 分。

(1)极限 22 2

sin sin sin 2

lim 12

nnn nn

πππ

→∞

⎛⎞

⎜⎟

+++ =

⎜⎟

++ +

⎜⎟

⎝⎠

L。

解：由于

sin

1sin

ini

≤

∑∑ 1

1sin ,

≤∑而

lim sin

→∞ =

+∑=0

lim sin sin

(1)

ni xdx

nn n

ππ

→∞ =

+∑∫，

lim sin

→∞ =

∑1

lim sin

→∞ =

∑0

sin xdx

∫。

所以所求极限是2.



（2）设函数 (, )zzxy=由方程 (,)0

Fx y

+=所决定，其中 (,)Fuv具有连续偏导

数，且 0

xF yF+≠

。则zz

yzxy

∂∂

+=−

∂∂ 。（本小题结果要求不显含 F及其

偏导数）

解：方程对 x求导，得到 2

zzz

yx xx x

⎛⎞

∂∂

⎟

⎜⎟

⎜

+⎟+ − =

⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎟

⎜

⎜⎟

⎜⎝⎠

∂∂

⎝⎠



即

()

zyzFxF

xF yF

∂−

∂+

。

同样，方程对 y求导，得到

()

zxzFyF

xF yF

∂−

∂+

。

于是 ()()

uv uv

z zzxFyF xyxFyF

yzxy

x y xF yF

∂∂ +− +

+= =−

∂∂ +



（3）曲面 22

1zx y=++在点 M(1,‐1,3)的切平面与曲面 22

zx y

+所围区域的体积为

。

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摘要：

2015年第七届预赛（非数学类）参考答案一、每小题6分，共计30分。 (1) 极限2222sinsinsin2lim12nnnnnnnnππππ→∞⎛⎞⎜⎟+++=⎜⎟+++⎜⎟⎝⎠L 。解：由于 11sin1sin1nniiiininnnnππ==≤++∑∑11sin,niinnπ=≤∑而 11limsin1nniinnπ→∞=+∑=0112limsinsin(1)nninixdxnnnππππππ→∞===+∑∫， 11limsinnniinnπ→∞==∑11limsinnniinnπππ→∞==∑012sinxdxπππ=∫。所以所求极限是 2.π （2）设函数(,...

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