矩阵理论赵迪知识总结-再更新范数1

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范数理论(更新)

谱半径定义：称

 

( ) max , , , n

   

为方阵

AA 

的谱半径,

其中，方阵 A的特征根为

( ) { , , }

  

备注：任一方阵

AA 

，必有

( ) 0A





（非负性）

思考题：

0 ( ) 0( )AA



若，是否为正？

，

( )=0 =0AA



若，是否必有？

谱半径性质：(齐次公式)

( ) | | ( )kA k A



, 证明：……

备注：可写齐次公式

( ) ( )



，

0k

例如，可取正数

( ) , 0kA

  

= + 

，则有

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1

k A A A

   

  

= = 

例：

A

=



，求谱半径

)(A



1 1 1

, ( )

2 3 2

  

= =  =，

例：

()

A

=



上三角

,可知谱半径

 

( ) max 2 , 1 2Ai



例：

11 0

A

=



−−



0,0 21 ==





(秩1阵且

( ) 0, 0tr A A==

), 可知

0)( =A



备注：本例说明，若

0A

，则有可能

0)( =A



，

即

( ) 0 0AA



=  =

习题 Ex：求下列特征根

()A



与谱半径

)(A



1. 1

A

=



，

2. ( 1 1 ) 0 ( )

A i i A c c c

icc



 

= = −  + =

 

 



，行和；3. 为复数

…………………………………………………………………………………

向量范数

先看向量空间 Cn中的模长性质

引例 Eg：Cn中向量 x=(x1,x2,……,xn)T的模长定义为：

| | ( , ) ( ) | | | |

HH n

x x x x x tr xx x x= = = = + +

有3条性质：

① 正性：|x|>0(若x≠0)，|0|=0，(且|x|=0



x=0 )

② 齐性：|kx|=|k||x|

③ 三角性：|x+y|≤|x|+|y|

推论：①

|| || || ||xx−=

，② |x|-|y|≤|x-y|，且 |y|-|x|≤|x-y|

即

|| || || ||x y x y−  −

备注：任一内积空间 W中都可引入向量长度（模长）定义如下，

|α|=

( , )



，





且有柯西--许瓦茨不等式：

|( , )| ( , ) ( , ) | | | |

       

=

由此可得三角性： |α+β|≤|α|+|β| .

且模长



具有①正性：

| | 0( 0)



若

,②齐性

| k | = | k|| | k



，为常数

例

m, n m, n

C , ( ), ( ) C

ij ij

V A a B b= = = 令矩阵空间

，

利用

m, n

中内积：(A,B)=tr(ABH)=tr(BHA)=∑

ij ij

规定记号

|| || ( , ) ( ) | |

Hij

A A A tr AA a= = = 

叫

的F范数（模）.

具有 ①正性:

|| || 0( 0)AA

；②齐性：

|| || | ||| ||kA k A=

③三角性：

|| || || || || ||A B A B+  +

………………………………………………………………………………………………..

下面引入任一线性空间(向量空间)中范数定义

范数定义 1：设

是数域

(实数或复数域)上线性空间，若对于任一

xV

,对应一个非负

数，记为

，满足以下 3个条件，则称

为空间

上一个向量范数：

① 正性：

x 0( x 0)若

；

② 齐次性：

xxkk=

，

kF倍数

③ 三角不等式：

xy+

≤

xy+

，任两个

x,y V

备注：空间

上一个向量范数就是

上一个非负函数

(x) || x ||,x V



=

，满足 3个条件

条件(1) 正性：

(x) 0( x 0)



若

条件(2) 齐性：

( x) | | (x),k k k



=为任一倍数

条件(3) 三角性：

( ) (x) (y), x, yx y V

  

+  + 

，

关于范数记号

|| x ||

的说明：

由于上述函数

(x)



具有内积空间

中向量模长

| x |

的3个性质(正性, 齐性, 三角性)

故把范数

(x)



理解为向量的广义模长，记为

(x) || x ||



因此可写范数定义 2

范数定义 2：若线性空间 V上有一个函数

(x),x V





适合：

① 正性：

( ) 0,( 0)xx





，

② 齐性：

( ) | | ( ),kx k x k



=为任一倍数

③ 三角性：

( ) ( ) ( )x y x y

  

+  +

，

则称

()x



为V上一个范数，记为

( ) || ||xx



……………………………………………………………

复向量空间

中的常用范数：令向量

( )

x , , C

xx=

1范数：

|| x || | | | | | |

x x x= = + +



2范数：

|| x || | x | (x,x) | | | |

xx= = = + +

（长度

| x |

）：

∞范数：

|| x || max{| |, ,| |}

=

-范数：



=







1p

;

可验证：以上 4个范数都满足①正性，②齐性， ③三角性

例：

( )

x , , C

xx = 

，定义

x ( )

=

证明

是范数.

证明：

显然满足正性和齐次性，下证满足三角不等式.

设

( )

x , , ,y ( , , )

x x y y==

，注意到

x ( ) =

x x x

=

，即

是

中内

积诱导的模长

x (x,x) | x|==

，由Cauchy 不等式

|( , ) | ( , ) ( , )x y x x y y

得

( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

x+y (x+y,x+y)=(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)

x 2Re(x,y) x 2 (x,y)

x 2 x x

y y y

= + +  + +

 + + = +

所以

2 2 2

x+y x .y+

备注：向量范数性质

(1) 单位化公式：

x0

时，

|| x ||

是范数为 1的向量;

(2)

xx−=

； (3)

x y | x y |−  −

备注*：Cn上有很多(无穷多)范数.

补充题 1：设正定阵

0, C

H n n

A A A 

=  

，定义

, C

x x Ax x=

证明

x x Ax=

是

上一个范数

提示：先证(1)正性, (2)齐性，再证三角性(3)

x y x y+  +

如下：

0A

由平方根公式

A B B B==



( ) | |

H H H H

x Ax x B Bx Bx Bx Bx= = =



| | | | || ||

x x Ax Bx Bx Bx= = = =



2 2 2 2

|| ( )|| || || || || || ||x y B x y Bx By Bx By x y+ = + = +  + = +

2. 已知正定对角阵

, 0, , 0

A p p





=  





，令





=





写出范数公式

x x Ax==

| | | |

Hnn

x x Ax p x p x= = + +

…………………………………………………………………

上范数等价性

定理：

上任2个范数

|| x || ,|| x ||

存在

0, 0kk  正数：

，

st：

|| x || || x || || x ||

b a b

kk

对一切

成立

|| x || x

||x || a

kk即对一切成立

（证略）

简称

上任2个范数

|| || ,|| ||

都等价！！！

例如，

上，

|| x ||

1 n, x C

||x ||

  

，或

|| x ||

n ||x ||



；

|| x || || x ||

1 n, 1

||x || ||x ||

   或

注：由 Cauchy 不等式

2 2 2 2

1 1 1

|| x|| 1| | 1| | 1 1 | | | |

x x x x= + +  + + + +

可得

|| x ||

||x ||



收敛定义：设

中向量序列;

( ) ( ) ( ) ( )

( , , , ),( 1,2 )

k k k k

x x x x k==

，

( , , , )T

   

若

( ) ( ) ( )

1 1 2 2

, , , ,( )

k k k

x a x a x a k→ → → → 

，

称

() ()



→ → 

，或

()

lim k



收敛引理：

( ) ( ) 0



→  − →

，(

|| ||x

为任一范数)

（先取范数

|| x ||

证明引理，再用范数等价性，任取其它范数也成立）

…………………………………………………………………………………………

定义*：设

是有限维线性空间，



是

中的任意两种范数，若存在正数

,kk

使

得

xV

，都有：

k x x k x

  



，则称



与

是等价的.

定理*：有限维线性空间

中的任何两种范数都等价.

证明*：设

是有限维线性空间，

1,,

是

的基，则

xV

，有唯一表达式：

1 1 1

( , , )

n n n

e e e e

  

+ + =x=

，其中

=( , , )

  

为x的坐标向量. 可断言

中任一

范数

都是

1,,



的连续函数，令

( , , ) x

  

，则对



 = 



，有

11 1

1 1 1

( , , ) ( , , ) ( )

( ) ( ) ( )

()

n n i i i

n n n

i i i i i i

i i i

x y x y

       

   



= = =

− −  − = −

 −  −

=−



  



（柯西不等式）

其中

()

=

为常数，所以

( , , )=

  

是

1,,



的连续函数.现证定理的结

论，设



是

中的任意两种范数，要证存在正数

,kk

，使得

xV

都有

k x x k x

  



.当

x0=

时，显然成立.

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摘要：

1范数理论(更新)谱半径定义：称为方阵的谱半径,其中，方阵A的特征根为备注：任一方阵，必有（非负性）思考题：，谱半径性质：(齐次公式),证明：……备注：可写齐次公式，.例如，可取正数，则有例：，求谱半径例：,可知谱半径例：(秩1阵且),可知.备注：本例说明，若，则有可能，即习题Ex：求下列特征根与谱半径，…………………………………………………………………………………向量范数先看向量空间Cn中的模长性质引例Eg：Cn中向量x=(x1,x2,……,xn)T的模长定义为：12()max,,,nA=nnAA=1(){,,}nA=nnAA=()0A0()0()AA若，是否...

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