矩阵理论赵迪知识总结-再更新范数1

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1
范数理论(更新)
谱半径定义：称
 
12
( ) max , , , n
A
 
=
为方阵
nn
AA
=
的谱半径,
其中，方阵 A的特征根为
1
( ) { , , }
n
A
 
=
备注：任一方阵
nn
AA
=
，必有
( ) 0A
（非负性）
思考题：
0 ( ) 0( )AA
若 ，是否 为正 ？
，
谱半径性质：(齐次公式)
( ) | | ( )kA k A

=
, 证明：……
备注：可写齐次公式
1
||
( ) ( )
A
kk
A

=
，
0k
.
例如，可取正数
( ) , 0kA
 
= + 
，则有
1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1
AA
k A A A
   
 
++
= =
例：
12
13
1
0
A
=

，求谱半径
)(A
12
1 1 1
, ( )
2 3 2
A
 
= =  =，
例：
21
()
01
i
A
=

上三角
,可知谱半径
 
( ) max 2 , 1 2Ai
==
例：
11 0
11
A
=

−−

0,0 21 ==
(秩1阵且
2
( ) 0, 0tr A A==
), 可知
0)( =A
.
备注：本例说明，若
0A
，则有可能
0)( =A
，
即
( ) 0 0AA
=  =
习题 Ex：求下列特征根
()A
与谱半径
)(A
13
14
0
1. 1
A
=

，
2
0
1
2. ( 1 1 ) 0 ( )
10
cc
i
A i i A c c c
icc

 
= = − + =
 
 

，行和 ；3. 为复数
…………………………………………………………………………………
向量范数
先看向量空间 Cn中的模长性质
引例 Eg：Cn中向量 x=(x1,x2,……,xn)T的模长定义为：
22
1
| | ( , ) ( ) | | | |
HH n
x x x x x tr xx x x= = = = + +
2
有3条性质：
① 正性：|x|>0(若x≠0)，|0|=0，(且|x|=0
x=0 )
② 齐性：|kx|=|k||x|
③ 三角性：|x+y|≤|x|+|y|
推论：①
|| || || ||xx−=
，② |x|-|y|≤|x-y|，且 |y|-|x|≤|x-y|
即
|| || || ||x y x y−  −
备注：任一内积空间 W中都可引入向量长度（模长）定义如下，
|α|=
( , )

，
W
且有柯西--许瓦茨不等式：
|( , )| ( , ) ( , ) | | | |
 
=
由此可得三角性： |α+β|≤|α|+|β| .
且模长
||
具有①正性：
| | 0( 0)

若
,②齐性
| k | = | k|| | k

， 为常数
.
例
m, n m, n
C , ( ), ( ) C
ij ij
V A a B b= = = 令矩阵空间
，
利用
m, n
C
中内积：(A,B)=tr(ABH)=tr(BHA)=∑
ij ij
ab
,
规定记号
2
|| || ( , ) ( ) | |
Hij
A A A tr AA a= = =
叫
A
的F范数（模）.
具有 ①正性:
|| || 0( 0)AA
；②齐性：
|| || | ||| ||kA k A=
③三角性：
|| || || || || ||A B A B+  +
………………………………………………………………………………………………..
下面引入任一线性空间(向量空间)中范数定义
范数定义 1：设
V
是数域
F
(实数或复数域)上线性空间，若对于任一
xV
,对应一个非负
数，记为
x
，满足以下 3个条件，则称
x
为空间
V
上一个向量范数：
① 正性：
x 0( x 0)若
；
② 齐次性：
xxkk=
，
kF倍数
③ 三角不等式：
xy+
≤
xy+
，任两个
x,y V
备注：空间
V
上一个向量范数就是
V
上一个非负函数
(x) || x ||,x V
=
，满足 3个条件
条件(1) 正性：
(x) 0( x 0)
若
条件(2) 齐性：
( x) | | (x),k k k

=为任一倍数
条件(3) 三角性：
( ) (x) (y), x, yx y V
 
+  +
，
关于范数记号
|| x ||
的说明：
3
由于上述函数
(x)
具有内积空间
Cn
中向量模长
| x |
的3个性质(正性, 齐性, 三角性)
故把范数
(x)
理解为向量的广义模长，记为
(x) || x ||
=
因此可写范数定义 2
范数定义 2：若线性空间 V上有一个函数
(x),x V
适合：
① 正性：
( ) 0,( 0)xx

，
② 齐性：
( ) | | ( ),kx k x k

=为任一倍数
③ 三角性：
( ) ( ) ( )x y x y
 
+  +
，
则称
()x
为V上一个范数，记为
( ) || ||xx
=
……………………………………………………………
复向量空间
Cn
中的常用范数：令向量
( )
n
1
x , , C
T
n
xx=
1范数：
11
|| x || | | | | | |
jn
x x x= = + +
2范数：
22
21
|| x || | x | (x,x) | | | |
n
xx= = = + +
（长度
| x |
）：
∞范数：
1
|| x || max{| |, ,| |}
n
xx
=
p
-范数：
1
1
x
pp
n
i
pi
x
=

=


,
1p
;
可验证：以上 4个范数都满足①正性，②齐性， ③三角性
例：
( )
n
1
x , , C
T
n
xx =
，定义
1
22
21
x ( )
n
i
i
x
=
=
证明
2
x
是范数.
证明：
2
x
显然满足正性和齐次性，下证满足三角不等式.
设
( )
11
x , , ,y ( , , )
TT
nn
x x y y==
，注意到
1
22
21
x ( ) =
nH
i
i
x x x
=
=
，即
2
x
是
n
C
中内
积诱导的模长
2
x (x,x) | x|==
，由Cauchy 不等式
|( , ) | ( , ) ( , )x y x x y y
得
( )
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
22
2 2 2 2 2 2
x+y (x+y,x+y)=(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)
x 2Re(x,y) x 2 (x,y)
x 2 x x
yy
y y y
=
= + +  + +
 + + = +
所以
2 2 2
x+y x .y+
备注：向量范数性质
(1) 单位化公式：
x0
时，
x
|| x ||
是范数为 1的向量;
4
(2)
xx−=
； (3)
x y | x y |−  −
.
备注*：Cn上有很多(无穷多)范数.
补充题 1： 设正定阵
0, C
H n n
A A A
= 
，定义
n
, C
H
x x Ax x=
证明
H
x x Ax=
是
n
C
上一个范数
提示：先证(1)正性, (2)齐性，再证三角性(3)
x y x y+  +
如下：
0A
由平方根公式
2H
A B B B==
2
( ) | |
H H H H
x Ax x B Bx Bx Bx Bx= = =
22
| | | | || ||
H
x x Ax Bx Bx Bx= = = =
2 2 2 2
|| ( )|| || || || || || ||x y B x y Bx By Bx By x y+ = + = + + = +
2. 已知正定对角阵
1
1
0
, 0, , 0
0
n
n
p
A p p
p


=  



，令
1
Cn
n
x
X
x


=



写出范数公式
?
H
x x Ax==
22
11
| | | |
Hnn
x x Ax p x p x= = + +
…………………………………………………………………
n
C
上范数等价性
定理：
n
C
上任2个范数
|| x || ,|| x ||
ab
存在
12
0, 0kk  正数：
，
st：
12
|| x || || x || || x ||
b a b
kk
对一切
x
成立
12
|| x || x
||x || a
b
kk即 对一切 成立
（证略）
简称
n
C
上任2个范数
|| || ,|| ||
ab
xx
都等价！！！
例如，
n
C
上，
n
1
|| x ||
1 n, x C
||x ||
 
， 或
1
|| x ||
11
n ||x ||

；
12
21
|| x || || x ||
1
1 n, 1
||x || ||x ||
n
  或
5
注：由 Cauchy 不等式
2 2 2 2
1 1 1
|| x|| 1| | 1| | 1 1 | | | |
nn
x x x x= + + + + + +
可得
1
2
|| x ||
1n
||x ||

收敛定义：设
n
C
中向量序列;
( ) ( ) ( ) ( )
12
( , , , ),( 1,2 )
k k k k
n
x x x x k==
，
12
( , , , )T
n
 
=
若
( ) ( ) ( )
1 1 2 2
, , , ,( )
k k k
nn
x a x a x a k→ → → → 
，
称
() ()
k
xk
→ → 
， 或
()
lim k
x
=
收敛引理：
( ) ( ) 0
kk
xx

→  − →
，(
|| ||x
为任一范数)
（先取范数
1
|| x ||
证明引理，再用范数等价性，任取其它范数也成立）
…………………………………………………………………………………………
定义*：设
V
是有限维线性空间，
xx

,
是
V
中的任意两种范数，若存在正数
12
,kk
使
得
xV
，都有：
12
k x x k x
 

，则称
xx

与
是等价的.
定理*：有限维线性空间
V
中的任何两种范数都等价.
证明*：设
V
是有限维线性空间，
1,,
n
ee
是
V
的基，则
xV
，有唯一表达式：
1 1 1
( , , )
n n n
e e e e
 
+ + =x=
，其中
T
1
=( , , )
n
 
为x的坐标向量. 可断言
V
中任一
范数
x
都是
1,,
n

的连续函数，令
1
( , , ) x
n
 
=
，则对
1
V
n
ii
i
ye
=
 =
，有
11 1
11
22
22
1 1 1
1
22
1
( , , ) ( , , ) ( )
( ) ( ) ( )
=
()
n
n n i i i
i
n n n
i i i i i i
i i i
n
ii
i
e
ee
x y x y
k
 
   

=
= = =
=
− −  − = −
 − −
=−
 
（柯西不等式）
其中
1
22
1
()
n
i
i
ke
=
=
为常数，所以
1
( , , )=
nx
 
是
1,,
n

的连续函数.现证定理的结
论，设
xx

,
是
V
中的任意两种范数，要证存在正数
12
,kk
，使得
xV
都有
12
k x x k x
 

.当
x0=
时，显然成立.
摘要：

1范数理论(更新)谱半径定义：称为方阵的谱半径,其中，方阵A的特征根为备注：任一方阵，必有（非负性）思考题：，谱半径性质：(齐次公式),证明：……备注：可写齐次公式，.例如，可取正数，则有例：，求谱半径例：,可知谱半径例：(秩1阵且),可知.备注：本例说明，若，则有可能，即习题Ex：求下列特征根与谱半径，…………………………………………………………………………………向量范数先看向量空间Cn中的模长性质引例Eg：Cn中向量x=(x1,x2,……,xn)T的模长定义为：12()max,,,nA=nnAA=1(){,,}nA=nnAA=()0A0()0()AA若，是否...

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