数理统计05估计量的优良性准则（续）

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第五讲 估计量的优良性准则
（续）
一、一致最小方差无偏估计（续）
二、信息不等式
三、相合估计
一、一致最小方差无偏估计
（续）
定理 4.3(Lehmann-Scheffe)
是完全充分统计量，设 )( xS
的是 )()(
qx
无偏估计， 的是则 )())(|)(()(
qxSxExT
UMVUE ，
，进一步，如果对所有
,))(( xTVar
。唯一的是则 UMVUE)()(
qxT
注： Lehmann-Scheffe 定理实际上给出了两
种寻找 UMVUE 的方法，
（1）
。道完全充分统计量 )( xT
))(()())(( xThqxTh 无偏统计量，则是若
。的也是 UMVUE)(
q
（2）
，则的一个无偏估计量若能获得 )()( xq
。的就是 UMVUE)())(|)((
qxTxE
但首先必须知
即寻找完全充分统
计量的函数使之成为 的无偏估计。
)(
q
例4.4设 是来自 Poisson 总体 的
1 2
, , , n
x x x
( )P
简单样本，
是正的未知参数，
试求 的
( )q e
一致最小方差无偏估计。
例4.5
是来自总体的
n
xxx ,,,
21
样本。
，服从正态分布设总体 ),(
2
NX
未知，),(
2
。的和求参数 UMVUE
2
所以由
的值域包含内点，由于
22
2
1
,
w
定理可知完全充分统计量为
).,()(
1
2
1
n
i
i
n
i
i
xxxT
的无偏估计，是而我们已经知道
n
i
i
x
n
x
1
1
且是完全充分统计量 的函数，
)( xT
知时， 的 UMVUE 为 。
x
故当 未
2
无论 是已知或未知，
2
注：
。的都 是 U M V U E
x
又
2
1
2
1
22
1
1
)(
1
1xnx
n
xx
n
S
n
i
i
n
i
i
)(
2
xT完全充分统计量的无偏估计，且是是
的函数，
。方差 2
S
例4.6
为样本的未知时，故当 UMVUE
2
上服从均匀分布，其中在设总体 ],0[
X
,是未知参数
,,,,
21
是来自总体的样本
n
xxx
。的试求参数 UMVUE
注：
。的不 是已 知 时 ，当 U M VU E
22
S
解
由因子分解定理可知
.,0
,0,
1
);,,,(
)()1(
21
otherwise
n
n
n
xx
xxxp
( ) (1)
( ) {0 }
1( )
n
x x
nI I x
 
},,,max{ 21)( nn xxxx
它是充分统计量。
由于
下证它也是完全的。
 
的密度函数为可知由
)(1)(
}{}{
n
n
n
xtxPtxP
,
0
0
);(
1
otherwise
ttn
tp
nn
，由及对任何函数 0)(
tg
0)())((
0
1
)(
dt
nn
n
ttgnxgE
,0)(,0
0
1
dt
n
ttg有可得对所有的
时才能成立，有在 0)( tg
这个只
也是完全的。因而
)( n
x
又因为
,
1
)(
0
)(
n
n
t
n
xE
n
n
n
dt
,
)1(
ˆ
)(n
x
n
n
的无偏估计为所以
的的函数，故它就是且是完全充分统计量
)( n
x
UMVUE 。
摘要：

第五讲估计量的优良性准则（续）一、一致最小方差无偏估计（续）二、信息不等式三、相合估计一、一致最小方差无偏估计（续）定理4.3(Lehmann-Scheffe)是完全充分统计量，设)(xS的是)()(qx无偏估计，的是则)())(|)(()(qxSxExTUMVUE，，进一步，如果对所有,))((xTVar。唯一的是则UMVUE)()(qxT注：Lehmann-Scheffe定理实际上给出了两种寻找UMVUE的方法，（1）。道完全充分统计量)(xT))(()())((xThqxTh无偏统计量，则是若。的也是UMVUE)(q（2），则的一个无偏估计量若能获得)()(...

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