数理统计05估计量的优良性准则（续）

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第五讲估计量的优良性准则

（续）

一、一致最小方差无偏估计（续）

二、信息不等式

三、相合估计

一、一致最小方差无偏估计

（续）

定理 4.3(Lehmann-Scheffe)

是完全充分统计量，设 )( xS

的是 )()(



无偏估计，的是则 )())(|)(()(





qxSxExT 

UMVUE ，

，进一步，如果对所有 



,))(( xTVar



。唯一的是则 UMVUE)()(



qxT

注： Lehmann-Scheffe 定理实际上给出了两

种寻找 UMVUE 的方法，

（1）

。道完全充分统计量 )( xT

))(()())(( xThqxTh 无偏统计量，则是若



。的也是 UMVUE)(



（2）

，则的一个无偏估计量若能获得 )()( xq



。的就是 UMVUE)())(|)((



qxTxE

但首先必须知

即寻找完全充分统

计量的函数使之成为的无偏估计。

)(



例4.4设是来自 Poisson 总体的

1 2

, , , n

x x x

( )P



简单样本，

是正的未知参数，



试求的

( )q e







一致最小方差无偏估计。

例4.5

是来自总体的

xxx ,,,



样本。

，服从正态分布设总体 ),(



未知，),(





。的和求参数 UMVUE



所以由

的值域包含内点，由于 















定理可知完全充分统计量为

).,()(







xxxT

的无偏估计，是而我们已经知道







n

且是完全充分统计量的函数，

)( xT



知时，的 UMVUE 为。

故当未



无论是已知或未知，



注：

。的都是 U M V U E



又

























)(

1xnx

)(

xT完全充分统计量的无偏估计，且是是



的函数，

。方差 2

例4.6

为样本的未知时，故当 UMVUE



上服从均匀分布，其中在设总体 ],0[



,是未知参数



,,,,

是来自总体的样本

xxx 

。的试求参数 UMVUE



注：

。的不是已知时，当 U M VU E



解

由因子分解定理可知













.,0

,0,

);,,,(

)()1(

otherwise



xxxp 

( ) (1)

( ) {0 }

1( )

x x

nI I x



 



},,,max{ 21)( nn xxxx 

它是充分统计量。

由于

下证它也是完全的。

 

的密度函数为可知由

)(1)(

}{}{

xtxPtxP 

);(











otherwise





ttn

，由及对任何函数 0)( 



0)())((

)(









ttgnxgE

,0)(,0









ttg有可得对所有的

时才能成立，有在 0)( tg

这个只

也是完全的。因而

)( n

又因为

)(









)1(

)(n

n





的无偏估计为所以



的的函数，故它就是且是完全充分统计量



)( n

UMVUE 。

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第五讲估计量的优良性准则（续）一、一致最小方差无偏估计（续）二、信息不等式三、相合估计一、一致最小方差无偏估计（续）定理4.3(Lehmann-Scheffe)是完全充分统计量，设)(xS的是)()(qx无偏估计，的是则)())(|)(()(qxSxExTUMVUE，，进一步，如果对所有,))((xTVar。唯一的是则UMVUE)()(qxT注：Lehmann-Scheffe定理实际上给出了两种寻找UMVUE的方法，（1）。道完全充分统计量)(xT))(()())((xThqxTh无偏统计量，则是若。的也是UMVUE)(q（2），则的一个无偏估计量若能获得)()(...

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