第41届全国中学生物理竞赛决赛理论试题

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第41 届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题

2024 年10 月26 日9:00-12:00

一、（50 分）实验研究发现，某些原子核会释放出一个电子而转变为另

一种原子核，释放出的电子的动能呈连续谱分布，这种现象被称为原子

核的β衰变。例如原子核 210

83 Bi 发生β衰变释放出的电子的动能分布谱

（在 210

83 Bi 静止的参考系中测得）如图 1a 所示。已知电子的静止质量𝑚

0.511 MeV/c。忽略电子在原子中的结合能。

（1）记发生β衰变的母原子的静止质量、发生 β衰变后的子原子的静

止质量分别为𝑀(𝑍,𝐴)、𝑀(𝑍+1,𝐴)，其中𝑍

、

𝐴分别是母原子的原子序

数、核子数。由于将原子的电子都电离掉而研究原子核的β衰变非常困

难，因此通常在原子层次上考察原子核的 β衰变。试给出原子发生β

衰变的条件。

（2）已知 210

83 Bi 的原子质量为 P209.984130 amuM（其中 amu 为原子质量单位， 2

1 amu 931.494MeV / c），

在β衰变后生成的原子质量为 D209.982883 am uM。假如在β衰变过程中除去释放出 β电子之外没有

生成另外的新粒子，那么 β电子的动能（以 MeV 为单位）是多大？设 210

83 Bi 原子在初始时是静止的。

（3）第（2）问得到的β电子的动能是完全确定的，这显然不符合实验观察到的连续谱的结果；所以在β

衰变的过程中必然有其他粒子生成。若只生成了一个其他粒子，试根据图 1a 所示的实验结果估算该粒子的

静止质量的范围。

（4）研究表明，原子核发生 β衰变的元过程是其中的一个中子 n转变成了一个电子e、一个质子 p和一

个其他粒子 X。已知中子、电子和质子自身都具有固有的角动量，称为粒子的自旋；进一步的研究表明，中

子、电子和质子的自旋的取值都是量子化的，它们各自在任意给定方向上的投影的大小都为 1

（2π

，h

是普朗克常量）。设微观粒子 1的角动量为 1

L（它在任意给定方向上的最大投影为 1

l）、微观粒子 2的角动

量为 2

L（它在任意给定方向上的最大投影为 2

l），这两个粒子的总角动量 1 2

 L L L 在任意给定方向上的

最大投影的可能值为



 

1 2 1 2 1 2

, 1 , ,l l l l l l     。求粒子 X的带电量和自旋。

二、（50 分）

晶格的热振动问题常可简化成耦合的弹簧振子问题。考虑一个一维耦合弹簧振子系统模型。设有 N

（1N ）个质量为 M的大珠子，编号为 1、3、5、···、2 1N；N个质量为 m的小珠子，编号为 2、4、6、···、

2N。这 2N个珠子按编号从小到大的次序套在一个光滑、水平、闭合、刚性的固定大圆环上。所有编号相邻

的珠子之间（包括 1号和 2N号）都由相同的、劲度系数为 k的轻弹簧相连，并达到静力平衡状态。

现研究上述一维耦合弹簧振子系统 S在平衡状态附近的微振动。由于圆环半径远大于相邻珠子的间距，

可近似认为每个珠子是各自在相应的直线上振动的质点。

（1）试写出第 i（1,2, ,2i N）个珠子满足的运动方程，设其偏离平衡位置的位移为𝑥，𝑥的正方向均与

环的逆时针方向一致。

（2）S有各种振动形式。其中有一类特别的振动模式，在此振动模式中所有珠子都以相同的频率作稳定的

微振动。这称为 S的本征模式，其频率称为本征频率。试求出 S的所有可能的本征频率𝜔。提示：可尝试用

波（行波）的形式（相邻珠子振动的相位差为𝛼）求解。

（3）对于频率为𝜔的本征模式，设所有大珠子的振幅都为𝐴，小珠子的振幅都为𝐵。求

（3.1）𝐴和𝐵之间的关系；

（3.2）所有珠子在一个振荡周期内的平均动能 k

E和S的总能量 E，结果中均不能出现𝐵。（设静力平

图1a

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