数学解析
2025-08-23
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厦门市 2025 届高中毕业班第一次质量检测数学
一、单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共40 分.在每小题
给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内,
i
(
1+i
)
对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】
B
【解析】易知
i
(
1+i
)
=i−1
,所以
i
(
1+i
)
对应的点为(1,-1),位于第二象限,故选
B
.
2.设集合
A=
{
x∈N
|
10
10− x ∈N
}
, B={0,1,2,3,4,5}
,则
A ∩ B=¿
A.
{0,5}
B.
{2,5}
C.
{0,1,5}
D.
{1,3,5}
【答案】
A
【解析】易知集合
A={0,5,8,9}
,所以
A ∩ B={0,5}
,故选
A
.
3.已知等轴双曲线
C
的焦点到其渐近线的距离为 1,则
C
的焦距为
A.
√
2
B.2C.
2
√
2
D.4
【答案】
C
【解析】设等轴双曲线的焦距为
2c
,因为焦点到其渐近线的距离为
b=1
,所以
c=
√
2
,
双曲线的焦距为
2
√
2
,故选
C
.
4.已知
m , n
是两条不同的直线,
α , β
是两个不同的平面,
α ∩ β=n
,则下列说法正确的是
A.若
m/¿α
,则
m/¿n
B.若
m/¿n
,则
m/¿α
C.若
m⊥n
,则
m⊥β
D.若
m⊥β
,则
m⊥n
【答案】
D
【解析】若
m/¿α
,则
m , n
平行或异面,
A
选项错误;
若
m/¿n
,则
m/¿α
或
m⊂α , B
选项错误;
若
m⊥n
,则
m , β
不一定垂直,也可能平行或相交,
C
选项错误;
若
m⊥β
,则
m⊥n , D
选项正确;故选
D
.
5.已知随机变量
X∼N
(
1, σ2
)
,若
P
(
X ≤ a
)
=0.3
,且
P
(
a ≤ X ≤ a+2
)
=0.4
,则
a=¿
A.-1B.
−1
2
C.0D.
1
2
【答案】
C
【解析】如图所示,
P
(
X ≥ a+2
)
=0.3
,
所以
a+a+2=2×1
,
解得
a=0
,故选
C
.
6.已知
0<α<π
2
,若
tan
(
α+π
4
)
=2
(
sin α+cos α
)
,则
sin 2 α=¿
A.
1
3
B.
1
2
C.
3
4
D.
4
5
【答案】
C
【解析】
tan
(
α+π
4
)
=1+tan α
1−tan α=sin α+cos α
cos α −sin α=2
(
sin α+cos α
)
,因为
sin α+cos α ≠ 0
,
所以
cos α −sin α=1
2,
(
cos α −sin α
)
2=1−sin 2 α=1
4
,解得
sin 2 α=3
4
,故选
C
.
7.过抛物线
C:y2=4x
的焦点
F
的直线
l
交
C
于
A , B
两点,交直线
x=−1
于点
P
,若
⃗
PA=
⃗
AB
,则
△OAF
与
△OBF
的面积之比为
A.
1
4
B.
1
2
C.
3
4
D.1
【答案】
B
【解析】易知
x=−1
为
C
的准线,过
A , B
分别作
x=−1
的垂线,垂足分别为
M , N
,
因为
⃗
PA=
⃗
AB
,所以
2
|
AM
|
=
|
BN
|
,即
2
|
AF
|
=
|
BF
|
,
所以
△OAF
与
△OBF
的面积之比为
1
2
,故选
B
.
8.若函数
f
(
x
)
=ln
(
eax− 6+1
)
− x
的图象关于直线
x=3
对称,则
f
(
x
)
的值域为
A.
¿
B.
¿
C.
¿
D.
¿
【答案】
B
【解析】
f
(
x
)
=ln
(
eax− 6+1
)
− x=ln
(
e
(
a − 1
)
x −6+e− x
)
,依题意,
f
(
0
)
=f
(
6
)
,
所以
ln
(
e−6+e0
)
=ln
(
e6a − 6+e−6
)
,所以
e−6+e0=e6a− 12+e−6
,解得
a=2
,
所以
f
(
x
)
=ln
(
ex −6+e− x
)
,因为
ex − 6+e− x ≥2
√
ex −6×e− x=2
e3
,所以
f
(
x
)
≥2−ln 3
,
故选
B
.
二、多项选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共18 分.在每小题
给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部
分选对的得部分分,有选错的得 0分.
9.已知平面向量
a=
(
2,sin θ
)
,b=
(
1,cos θ
)
,则
A.
a , b
不可能垂直
B.
a , b
不可能共线
C.
|
a+b
|
不可能为 5
D.若
θ=π
2
,则
a
在
b
方向上的投影向量为
2b
【答案】
ACD
【解析】
a⋅b=2+sin θcos θ ≥ 2−1
2=3
2, A
选项正确；
若向量
a , b
共线,则
2 cos θ −sin θ=0
,解得
tan θ=2
,所以向量
a , b
可能共线,
B
选项错误;
a+b=
(
3,sin θ+cos θ
)
,所以
|
a+b
|
=
√
9+
(
sin θ+cos θ
)
2≤
√
11<5, C
选项正确；
若
θ=π
2
,则
a=
(
2,1
)
, b=
(
1,0
)
,所以
a
在
b
方向上的投影向量为
ab
|
a
|
⋅b
|
b
|
=2b , D
选项正确;
综上所述,应选
ACD
.
10.药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤.在某新药的临床实验
中,志愿者摄入一定量药物后,在较短时间内,血液中药物浓度将达到峰值,当血液中药
物浓度下降至峰值浓度的 20%时,需要立刻补充药物.已知某药物的峰值浓度为
120 mg/L
,为探究某药物在人体中的代谢情况,研究人员统计了血液中药物浓度
y
(
mg/L
)
与代谢时间
x
(
ℎ
)
的相关数据,如下表所示:
x
0 1 2 345678
´x=4
y
12
0
110 10
3
93 82 6
8
59 47 3
8
´y=80
已知根据表中数据可得到经验回归方程
^
y=−10.5 x+
^
a
,则
A.
^
a=122
B.变量
y
与
x
的相关系数
r>0
C.当
x=5
时,残差为-1.5D.代谢约 10 小时后才需要补充药物
【答案】
AC
【解析】因为样本中心点(4,80)在直线
y=−10.5 x+
^
a
上,所以
^
a=80+4×10.5=122 , A
选项正确；
血液中药物浓度
y
(
mg/L
)
随代谢时间
x
(
ℎ
)
的增大而减小,所以变量
y
与
x
的相关系数
r>0, B
选项错误;
当
x=5
时,
^
y=−10.5×5+122=69.5
,残差为
68 −69.5=−1.5 , C
选项正确;
令
−10.5 × x +122=120 ×0.2
,解得
x ≈ 9.33 , D
选项错误;综上所述,应选
AC
.
11.已知定义在
(
0,+∞
)
上的函数
f
(
x
)
满足
f
(
x+1
)
=2f
(
x
)
+
[
x
]
,其中
[
x
]
表示不超过
x
的最
大整数,如
[
1.9
]
=1,
[
3
]
=3
.当
0<x ≤1
时,
f
(
x
)
=xln x
,设
xn
为
f
(
x
)
从小到大的第
n
个极小值
点,则
A.
f
(
2
)
=2
B.
f
(
n
)
=2n−n −1
(
n∈N∗
)
C.数列
{
xn
}
是等差数列 D.
f
(
xn
)
<0
【答案】
BC
【解析】
f
(
2
)
=2f
(
1
)
+1=1
,故
A
选项错误;
当
n∈N∗
时,
f
(
n+1
)
=2f
(
n
)
+n
,等式两边同时加
n+2
,得
f
(
n+1
)
+
(
n+1
)
+1=2
(
f
(
n
)
+n+1
)
,故
f
(
n
)
+n+1=2n − 1
(
f
(
1
)
+2
)
=2n
,
f
(
n
)
=2n−n−1
,故
B
选项正确;
当
n −1<x<n
时,设
f
(
x
)
=F
(
x
)
,则
F
(
x
)
极小值点为
xn
,
所以当
n<x<n+1
时,
f
(
x
)
=2F
(
x −1
)
+n −1
,此时,
f
(
x
)
的极小值点为
xn+1
,即
xn+1=xn+1
,
所以
xn+1− xn=1
,数列
{
xn
}
是等差数列,故
C
选项正确;
所以设
f
(
xn
)
=an
,则
a1=−1
e, an+1=2an+n −1, an+1+n+1=2
(
an+n
)
,
所以
an=
(
1−1
e
)
2n −1−n
,当
n →+∞
时,
f
(
xn
)
→+∞
,故
D
选项错误.
综上所述,应选
BC
.
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厦门市2025届高中毕业班第一次质量检测数学一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内,i(1+i)对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】易知i(1+i)=i−1,所以i(1+i)对应的点为(1,-1),位于第二象限,故选B.2.设集合A={x∈N|1010−x∈N},B={0,1,2,3,4,5},则A∩B=¿A.{0,5}B.{2,5}C.{0,1,5}D.{1,3,5}【答案】A【解析】易知集合A={0,5,8,9},所以A∩B={0,5},故选A.3.已知等轴双曲线C的焦...
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