2025年教学资料：3.3函数的性质
2025-07-03
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授课
题目 3.3 函数的性质 选用
教材
高等教育出版社《数学》
（基础模块上册）
授课
时长 4 课时 授课
类型 新授课
教学
提示
本课将通过实例和学生熟悉的函数图像，帮助学生理解函数的单调
性和奇偶性，引导学生正确地使用符号语言刻画函数的单调性和奇偶
性，并通过几种常见函数：一次函数、反比例函数、二次函数整体系统
地研究函数的性质．
教学
目标
结合函数图像，能用数学语言表达函数单调性、奇偶性的定义，能
通过图像法和定义法判断函数的单调性和奇偶性，逐步提高直观想象和
数学抽象等核心素养；能利用函数的单调性判断同一单调区间内两个函
数值的大小，知道函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系，能从函数
单调性、奇偶性等角度，重新认识一次函数、反比例函数和一元二次函
数，初步学会在具体函数中怎样研究对函数的一般性质的方法，逐步提
高数学抽象、逻辑推理等核心素养．
教学
重点 函数的单调性和奇偶性及几种常见函数的性质
教学
难点 定义法判断函数单调性和奇偶性
教学
环节 教学内容 教师
活动
学生
活动
设计
意图
情境
导入
函数是描述客观事物运动变化规律的数学
模型．了解了函数的变化规律，也就基本把握了
相应事物的变化规律，因此这一节我们一起来
研究函数的性质．
3.3.1 函数的单调性
请大家观察下图，这是某市某天气温𝑦（℃）
是时间𝑥(时)的函数图像，记这个函数为𝑦 =
𝑓(𝑥)．
观察图像，当自变量𝑥变化时，函数𝑓(𝑥)
怎样变化? 如何用数学的语言来表示这个变
化？
说明
引 导
学 生
观 察
分析
观察
通 过 实
例 让 学
生 观 察
函 数 图
像 的 变
化 趋
势 ， 在
教 师 的
引 导 下
学 会 用
数 学
语言描
由图可知：时间从 4ℎ到 14ℎ曲线呈上升
趋势，说明气温随时间的增加而逐渐升高，也就
是
说当𝑥 ∈ [4，14] 时，函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的值随自
变
量 x 的增大而增大．时间从 14ℎ到 24ℎ曲线
呈下降趋势，说明气温随时间的增加而逐渐降
低，也
就是说当𝑥 ∈ [14，24] 时，函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的值
随自变量 x 的增大而减小．
由图可知：在给定区间[4，14]上，对于图像
上的任意两点𝑃1(𝑥1, 𝑦1)，𝑃2(𝑥2, 𝑦2)，当𝑥1 € 𝑥2
时，都有
𝑦1 € 𝑦2，即，f(x1)＜f(x2)．
在给定区间[14，24]上，对于图像上的任意
两点𝑃3(𝑥3, 𝑦3)，𝑃4(𝑥4, 𝑦4)，当𝑥3 € 𝑥4时，都有
𝑦
3
Σ 𝑦
4
，即
f(x3)＞f(x4)．
述函数
看图 值随着
思考 自变量
的变化
而变化
启发 分析 的规律，
引出单
调性，培
体会 养学生
直观想
象、逻辑
推理和
数学抽
象等核
引导 领悟 心素养
总结
从上述例子可抽象出如下定义：
设函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的定义域为 D，区间𝐼 ⊆ �
�．
（1）如果对于区间𝐼上的任意两点𝑥1，𝑥2，
当𝑥1 € 𝑥2时，都有
𝑓(𝑥
1
) € 𝑓(𝑥
2
)，
那么称函数𝑦 = 𝑓(𝑥)在区间𝐼上是增函数，区
间
I 称为函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的增区间．如图（1）所示．
归纳 师生共
同归纳
说明 函数的
探索
新知 理解 单调性
总结 的定义，
仔细 学会定
分析 性描述
（2）如果对于区间𝐼上的任意两点𝑥1，𝑥2，
当𝑥1 € 𝑥2时，都有
𝑓(𝑥
1
) Σ 𝑓(𝑥
2
)，
那么称函数𝑦 = 𝑓(𝑥)在区间𝐼上是减函数，区
间
𝐼称为函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的减区间．如图（2）所示．
如果函数𝑦 = 𝑓(𝑥)在区间𝐼上是增函数或减
函数，那么称函数𝑦 = 𝑓(𝑥)在区间𝐼上具有单调
性，区间𝐼称为单调区间．增区间也称为单调增
区间，减区间也称为单调减区间．
讲解 和定量
关键刻画函
词语 数的单
调性，培
引导 养学生
学生 数学抽
观察 象等核
图像 记忆心素养
领会
说明
观察
例 1 根据函数在 R 上的图像，如图所示，写出
其单调区间：
解（1）由图（1）所示函数图像可知，函数𝑦 =
𝑓(𝑥)的定义域为 R，增区间为(—∞
，
0]，减区
间为[0
，
+ ∞)．
（2）由函数图像（2）可知，函数𝑦 = 𝑔(𝑥)的
定义域为 (—∞
，
0) ∪
（
0, +∞) ，增区间
为
(—∞
，
0)和
（
0, +∞)．
提问观察 通过例
题帮助
学生理
解函数
思考 的单调
强调 性，并学
会利用
例题
辨析分析 求解 图像法
和定义
法判断
函数的
单调性，
在解决
问题时
强调学
探究与发现
函数 f x 1 的减区间能写成(—∞
，
0)
∪
x
（0, +∞)吗？
例 2 讨论函数𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 在(—∞
，
+ ∞）
上的单调性．
解 任取𝑥1, 𝑥2 ∈ (—∞
，
+
∞）且𝑥1 € 𝑥2，因为
𝑓(𝑥
1
) — 𝑓(𝑥
2
) = (2𝑥
1
+ 1)
－
(2𝑥
2
+ 1)
=2𝑥1 — 2𝑥2
= 2(𝑥
1
－
𝑥
2
)，
由𝑥1 — 𝑥2 € 0，所以𝑓(𝑥1) — 𝑓(𝑥2) € 0,即
𝑓(𝑥
1
) € 𝑓(𝑥
2
)．
所以函数𝑓(𝑥)
=
2𝑥
+
7在(—∞
，
+
∞）上是
增函数．
例 3 证明函数𝑓(𝑥) =
1
+ 1 在区间(—∞
，
0)上
s
是减函数．
证明 任取𝑥1, 𝑥2 ∈ (—∞
，
0)且𝑥1 € 𝑥2．因为
𝑓(𝑥 ) — 𝑓(𝑥
) =
1
+
1) — 1
+
1)
1 2
( (
𝑥1𝑥2
=
1
—
1
=
s
2
–s
1，
s
1
s
2
s
1
s
2
由𝑥2 — 𝑥1
Σ
0, 𝑥1𝑥2
Σ
0，所以𝑓(𝑥1) — 𝑓(𝑥2)
Σ
0，即
f(x
1
) Σ f(x
2
) ．
所以函数𝑓(𝑥) =
1
+ 1 在区间(-∞， 0) 上是减
s
函数．
生注意
提问观察 给定区
质疑思考 间
引导
分析
提问观察
思考
分析
讲解求解
提问观察
思考
分析
求解
讲解
摘要：
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授课题目3.3函数的性质选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块上册）授课时长4课时授课类型新授课教学提示本课将通过实例和学生熟悉的函数图像，帮助学生理解函数的单调性和奇偶性，引导学生正确地使用符号语言刻画函数的单调性和奇偶性，并通过几种常见函数：一次函数、反比例函数、二次函数整体系统地研究函数的性质．教学目标结合函数图像，能用数学语言表达函数单调性、奇偶性的定义，能通过图像法和定义法判断函数的单调性和奇偶性，逐步提高直观想象和数学抽象等核心素养；能利用函数的单调性判断同一单调区间内两个函数值的大小，知道函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系，能从函数单调性、奇偶性等角度，重新认识一次函数、反比...
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分类：中学教育
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