湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期10月月考（二）数学
2025-05-17
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试卷第 1页，共 4页
衡阳市八中 2024 届高三第 2 次月考
数 学 试 题
命题人：刘瑶 审题人：颜军
注意事项：本试卷满分为 150 分，时量为 120 分钟
一、单选题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分）
1．若集合
{ | 0 2}A x x
，
2
{ | 1}B x x
，则
A B
（ ）
A．
{ | 0 1}x x
B.
{ |1 2}x x
C．
{ | 0 2}x x
D．
{ 0x x
或
1}x
2．在复平面内，复数 对应的点的坐标为 （ ）
A．（ ，﹣ ） B．（ ， ） C．（0，﹣1）D．（0，1）
3．定义在
R
上的偶函数
( )f x
满足：对任意的
1
x
，
2 1 2
[0, )( )x x x
，有
2 1
2 1
( ) ( ) 0
f x f x
x x
，则 （ ）
A．
(1) ( 2) (3)f f f
B．
( 2) (1) (3)f f f
C．
(3) (1) ( 2)f f f
D．
(3) ( 2) (1)f f f
4．已知等差数列
n
a
的公差为 d，前 n项和为
n
S
，则“
0d
”是“
3 2 2n n n n
S S S S
”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．某校高三有 1000 人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布 N(105，σ2)，且成绩优良（不低于 120 分）
的人数为 360，则此次考试数学成绩及格（不低于 90 分）的人数约为 （ ）
A．360 B．640 C．720 D．780
6．椭圆
2 2
21 3
3
x y a
a
的左、右焦点分别为
1
F
，
2
F
，
A
为上顶点，若
1 2
AF F△
的面积为
3
，则
1 2
AF F△
的周长为
（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．设函数
e ln
x
f x ax m ax x
（其中
e
为自然对数的底数），若存在实数 a使得
0f x
恒成立，则实数 m
的取值范围是 （ ）
A．
2
1,
e
B．
1,
e
C．
2
e ,
D．
2
1
,e
8．如图，在三棱锥
S ABC
中，
2 2, 2SA SC AC AB BC
，二面角
S AC B
的正切值是
2
，则三棱锥
S ABC
外接球的表面积是 （ ）
A．
12π
B．
4π
C．
4 3π
D．
4 3 π
3
二、多选题（本大题共 4小题，每题 5分，共 20 分）
{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}
试卷第 2页，共 4页
9．已知向量
(1,3), (2, 4)a b
，则下列结论正确的是 （ ）
A．
( )a b a
B．
| 2 | 10a b
C．向量
,a b
的夹角为
3
4
D．
b
在
a
方向上的投影向量是
10a
10．设等比数列
n
a
的前
n
项和为
n
S
，前
n
项积为
n
T
，若满足
1
0 1a
，
7 4040 1a a
，
2023 2024
1 1 0a a
，则下
列选项正确的是 （ ）
A．
n
a
为递减数列 B．
2023 2024
1S S
C．当
2023n
时，
n
T
最小 D．当
1
n
T
时，
n
的最小值为 4047
11．已知函数
cos2 2 sinf x x x
，则 （ ）
A．函数
f x
在区间
,
6 2
上单调递增 B．直线
2
x
是函数
f x
图象的一条对称轴
C．函数
f x
的值域为
3
1, 2
D．方程
0, 2πf x a x
最多有 8个根，且这些根之和为
8π
12．已知直线
: 2l y k x
交
y
轴于点 P，圆
22
: 2 1M x y
，过点 P作圆 M的两条切线，切点分别为 A，B，
直线
AB
与
MP
交于点 C，则 （ ）
A．若直线 l与圆 M相切，则
15
15
k
B．当
2k
时，四边形
PAMB
的面积为
2 19
C．直线
AB
经过一定点 D．已知点
7, 0
4
Q
，则
CQ
为定值
三、填空题（本大题共 4题，每小题 5分，共 20 分）
13．在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数
e 2.71828
．小明在设置银行卡的数字密码时，打算
将自然常数的前 6位数字 2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个 2相邻，两个 8不相邻，
那么小明可以设置的不同密码共有 个．
14．曲线
ex
f x x a
在点
0, 0f
处的切线与直线
1
2
y x
垂直，则
a
.
15． 底面
ABCD
为菱形且侧棱
AE
底面
ABCD
的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的
几何体.若
4DA DH DB
，
3AE CG
.则三棱锥
F BEG
的体积为
__________________
16．设
0a
，平行于
x
轴的直线
:l y a
分别与函数
2x
y
和
1
2x
y
的图像交于点
A
，
B
，若函数
2x
y
的图像上
存在点
C
，满足
ABC
为等边三角形，则
a
．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}
试卷第 3页，共 4页
17．已知△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若△ABC 的面积为
3
2
，
1AB AC
且
>c b
．
(1)求角 A的大小；
(2)设M为BC 的中点，且
3
2
AM
，求 a的长度．
18．某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过 a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格
率分别为
3
4
，
1
2
，
1
2
．三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；恰有一道工序合
格的工艺品为二等品；其余为废品．
(1)求加工一件工艺品不是废品的概率；
(2)若每个工艺品为特等品可获利 300 元，一等品可获利 100 元，二等品将使工厂亏损 20 元，废品将使工厂亏损 100
元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利 X元，求 X的分布列和数学期望．
19．在图 1中，
ABC
为等腰直角三角形，∠B=90°，
2 2AB
，
ACD
为等边三角形，O为AC 边的中点，E在
BC 边上，且
2EC BE
，沿 AC 将
ACD
进行折叠，使点 D运动到点 F的位置，如图 2，连接 FO，FB，FE，使得
4FB
．
(1)证明：
FO
平面
ABC
．
(2)求二面角
E FA C
的余弦值．
20．若数列
n
A
满足
2
1n n
A A
，则称数列
n
A
为“平方递推数列”．已知数列
n
a
中，
19a
，点
1
,
n n
a a
在函数
2
( ) 2f x x x
的图象上，其中 n为正整数，
(1)证明：数列
1
n
a
是“平方递推数列”，且数列
lg 1
n
a
为等比数列；
(2)设
lg 1 , 2 4
n n n
b a c n
，定义
, ,
*, ,
a a b
a b b a b
，且记
*
n n n
d b c
，求数列
n
d
的前 n项和
n
S
．
{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}
摘要：
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试卷第1页，共4页衡阳市八中2024届高三第2次月考数学试题命题人：刘瑶审题人：颜军注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1．若集合{|02}Axx，2{|1}Bxx，则AB（）A．{|01}xxB.{|12}xxC．{|02}xxD．{0xx或1}x2．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（，﹣）B．（，）C．（0，﹣1）D．（0，1）3．定义在R上的偶函数()fx满足：对任意的1x，212[0,)()xxx，有2121()()0fxfxxx，则（）A．(1)(2)(3)fffB．...
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