培优冲刺01 三角形中的常见模型综合训练（解析版）

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培优专题 01 三角形中的常见模型综合训练

考点一：三角形的全等模型

全等三角形在中考数学中的重点不是简单的直接考察，而是作为几何题的中间变量，利用全等三角形

的对应边相等、对应角相等，来传递等量线段或者等价角。而当题目不直接考察时，识别需要的全等模型，

并利用对应结论做题就是最为重要的一个突破口，学习模型，运用模型结论直接做题会给我们提供一个非

常重要的做题思路。

题型 01 三角形常见全等模型及其应用

解题大招：全等常见模型：

①K 型图：

K型全等模型变形——三垂定理：

如图，亦有△ADC≌△CEB(AAS)

总结：当一个直角放在一条直线上时，常通过构造 K型全等来证明边相等，或者边之间的数量关系

② 手拉手：

模型名称几何模型图形特点具有性质

全

等

型

手

拉

手

AD=AE

AB=AC

∠BAC=∠DA

连结 BD、CE

①△ABD≌△ACE

②△AOB∽△HOC

③旋转角相等

（即∠1=∠2=∠3）

④A、B、C、D四点共圆

⑤AH 平分∠BHE

③倍长中线：

【中考真题练】

1．（2023•长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径 AB 的卡钳，卡钳交叉点 O为AA'、BB'的中点，

只要量出 A'B'的长度，就可以知道该零件内径 AB 的长度．依据的数学基本事实是（　　）

图形条件与结论辅助线注意事项

条件：

AC=BC,AC⊥BC

结论：

△ADC≌△CEB(AAS

)

分别过点

A、B作

AD⊥l,

BE⊥l

K型图可以和等腰直角

三角板结合，也可以和

正方形结合

基本图形辅助线条件与结论应用环境

延长 AD 到点 E，

使DE=AD，连接 CE

条件：

△ABC，AD=BD

结论：

△ABD≌△CED(SAS)

①倍长中线常和△三边关

系结合，考察中线长的

取值范围

②倍长中线也可以和其

他几何图形结合，考察

几何图形的面积问题

A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

D．两点之间线段最短

【分析】根据点 O为AA'、BB'的中点得出 OA＝OA'，OB＝OB'，根据对顶角相等得到∠AOB＝

∠A'OB'，从而证得△AOB 和△A'OB'全等，于是有 AB＝A'B'，问题得证．

【解答】解：∵点 O为AA'、BB'的中点，

∴OA＝OA'，OB＝OB'，

由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，

在△AOB 和△A'OB'中，

，

∴△AOB≌△A'OB'（SAS），

∴AB＝A'B'，

即只要量出 A'B'的长度，就可以知道该零件内径 AB 的长度，

故选：A．

2．（2023•重庆）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D为BC 上一点，连接 AD．过点 B作

BE⊥AD 于点 E，过点 C作CF⊥AD 交AD 的延长线于点 F．若 BE＝4，CF＝1，则 EF 的长度为　 3

．

【分析】先证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质可得 AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，进一

步可得 EF 的长．

【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠BEA＝∠AFC＝90°，

∴∠BAE+∠ABE＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAE+∠FAC＝90°，

∴∠FAC＝∠ABE，

在△ABE 和△CAF 中，

，

∴△ABE≌△CAF（AAS），

∴AF＝BE，AE＝CF，

∵BE＝4，CF＝1，

∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，

∴EF＝AF﹣AE＝4 1﹣＝3，

故答案为：3．

3．（2023•呼和浩特）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，，点 P为AC 边上的中点，

PM 交AB 的延长线于点 M，PN 交BC 的延长线于点 N，且 PM⊥PN．若 BM＝1，则△PMN 的面积为（

）

A．13 B．C．8 D．

【分析】依据题意，连接 BP，然后先证明△BMP≌△CNP，从而 CN＝BP＝1，又由等腰 Rt△ABC 可得

BC＝4，从而在 Rt△MBN 中可以求得 MN，又 MP＝NP，从而可得 MN 的值，进而可以得解．

【解答】解：如图连接 BP．

在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，

∵AB＝BC，点 P为AC 边上的中点，

∴BP⊥AC，∠CBP＝∠ABP＝ ∠ABC＝45°，∠BCA＝45°，BP＝CP＝AC＝2．

∴∠MBP＝∠NCP＝180° 45°﹣＝135°．

∵BP⊥AC，PM⊥PN，

∴∠BPM+∠MPC＝90°，∠CPN+∠MPC＝90°．

∴∠BPM＝∠CPN．

又BP＝CP，∠MBP＝∠NCP，

∴△BMP≌△CNP（ASA）．

∴BM＝CN＝1，MP＝NP．

在Rt△BPC 中，BC＝＝4．

∴在Rt△MBN 中，MN＝＝＝．

又在 Rt△MPN 中，MP＝NP，

∴MP2+NP2＝MN2．

∴MP＝NP＝．

∴S△PMN＝MP•NP＝．

故选：D．

4．（2023•湖北）如图，△BAC，△DEB 和△AEF 都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，

点E在△ABC 内，BE＞AE，连接 DF 交AE 于点 G，DE 交AB 于点 H，连接 CF．给出下面四个结论：

①∠DBA＝∠EBC；②∠BHE＝∠EGF；③AB＝DF；④AD＝CF．其中所有正确结论的序号是　

①③④ 　．

【分析】由等腰直角三角形的性质可得出∠ABC＝∠DBE＝45°，可得出①正确；证明

△BEA≌△DEF（SAS），由全等三角形的性质得出 AB＝DF，可得出③正确；由直角三角形的性质可

判断②不正确；证明四边形 DFCA 为平行四边形，由平行四边形的性质可得出 DA＝CF，则可得出答

案．

【解答】解：∵△BAC，△DEB 都是等腰直角三角形，

∴∠ABC＝∠DBE＝45°，

∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，

∴∠EBC＝∠DBA，

故①正确；

∵△DEB 和△AEF 都是等腰直角三角形，

∴BE＝DE，AE＝EF，∠BED＝∠AEF＝90°，

∴∠BEA＝∠DEF，

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摘要：

培优专题01三角形中的常见模型综合训练考点一：三角形的全等模型全等三角形在中考数学中的重点不是简单的直接考察，而是作为几何题的中间变量，利用全等三角形的对应边相等、对应角相等，来传递等量线段或者等价角。而当题目不直接考察时，识别需要的全等模型，并利用对应结论做题就是最为重要的一个突破口，学习模型，运用模型结论直接做题会给我们提供一个非常重要的做题思路。题型01三角形常见全等模型及其应用解题大招：全等常见模型：①K型图：K型全等模型变形——三垂定理：如图，亦有△ADC≌△CEB(AAS)总结：当一个直角放在一条直线上时，常通过构造K型全等来证明边相等，或者边之间的数量关系②手拉手：模型名称几何模...

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