培优冲刺03 四边形压轴题综合（解析版）
2025-05-16
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培优冲刺 03 四边形压轴题综合
1、四边形与翻折的综合
2、四边形与旋转的综合
3、四边形与新定义的综合
4、四边形与中点的综合
题型一：四边形与翻折的综合
有翻折必有全等，并且是轴对称类型的全等，所以，当四边形压轴题出现翻折或折叠时，一般都
是从轴对称类的全等入手思考！
【中考真题练】
1．（2023•西宁）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数
学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图 1，在矩形 ABCD 中，点 M在边 AD 上，将矩形纸片 ABCD 沿MC 所在的直线折叠，使点
D落在点 D′处，MD′与BC 交于点 N．
【猜想】MN＝CN．
【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片 ABCD 沿MC 所在的直线折叠，
∴∠CMD＝ ∠ CMD ′ ，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC （矩形的对边平行），
∴∠CMD＝ ∠ MCN （ 两直线平行，内错角相等 ），
∴ ∠ CMD ′ ＝ ∠ MCN （等量代换），
∴MN＝CN（ 等角对等边 ）．
【应用】
如图 2，继续将矩形纸片 ABCD 折叠，使 AM 恰好落在直线 MD′上，点 A落在点 A′处，点 B落在点 B′处，
折痕为 ME．
（1）猜想 MN 与EC 的数量关系，并说明理由；
（2）若 CD＝2，MD＝4，求 EC 的长．
【分析】【验证】根据折叠的性质得到∠CMD＝∠CMD′，根据矩形的性质推出∠CMD＝∠MCN，则
∠CMD′＝∠MCN，根据等腰三角形的判定即可得解；
【应用】（1）根据折叠的性质得到∠AME＝∠A′ME，根据矩形的性质推出∠AME＝∠MEN，则∠A
′ME＝∠MEN，根据等腰三角形的判定即可得出 MN＝EN，结合 MN＝CN 即可得解；
（2）根据矩形的性质、折叠的性质得出∠D＝∠D'＝90°，DC＝D'C＝2，MD＝MD′＝4，设 MN＝NC＝
x，则 ND′＝4﹣x，根据勾股定理求解即可．
【解答】解：【验证】∵矩形纸片 ABCD 沿MC 所在的直线折叠，
∴∠CMD＝∠CMD′，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC（矩形的对边平行），
∴∠CMD＝∠MCN（两直线平行，内错角相等），
∴∠CMD′＝∠MCN（等量代换），
∴MN＝CN（等角对等边）．
故答案为：∠CMD′；∠MCN；两直线平行，内错角相等；∠CMD′＝∠MCN；等角对等边；
【应用】（1）EC＝2MN；理由如下：
∵由四边形 ABEM 折叠得到四边形 A′B′EM，
∴∠AME＝∠A′ME，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC（矩形的对边平行），
∴∠AME＝∠MEN（两直线平行，内错角相等），
∴∠A′ME＝∠MEN，
∴MN＝EN（等角对等边），
∵MN＝CN，
∴MN＝EN＝NC，
即EC＝2MN；
（2）∵矩形 ABCD 沿MC 所在直线折叠，
∴∠D＝∠D'＝90°，DC＝D'C＝2，MD＝MD′＝4，
设MN＝NC＝x，
∴ND′＝MD′﹣MN＝4﹣x，
在Rt△ND′C中，∠D'＝90°，
∴ND'2+D'C2＝NC2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，
解得 ，
∴MN＝ ，
∴EC＝2MN＝5．
2．（2023•衢州）如图 1，点 O为矩形 ABCD 的对称中心，AB＝4，AD＝8，点 E为AD 边上一点（0＜AE
＜3），连结 EO 并延长，交 BC 于点 F．四边形 ABFE 与A′B′FE 关于 EF 所在直线成轴对称，线段 B′F
交AD 边于点 G．
（1）求证：GE＝GF．
（2）当 AE＝2DG 时，求 AE 的长．
（3）令 AE＝a，DG＝b．
①求证：（4﹣a）（4﹣b）＝4．
②如图 2，连结 OB′，OD，分别交 AD，B′F于点 H，K．记四边形 OKGH 的面积为 S1，△DGK 的面积
为S2，当 a＝1时，求 的值．
【分析】（1）由四边形 ABCD 是矩形，可得∠GEF＝∠BFE，而四边形 ABFE 与A′B′FE 关于 EF 所在直
线成轴对称，有∠BFE＝∠GFE，故∠GEF＝∠GFE，GE＝GF；
（2）过 G作GH⊥BC 于H，设 DG＝x，可知 AE＝2x，GE＝AD﹣AE﹣DG＝8 3﹣x＝GF，根据点 O为
矩形 ABCD 的对称中心，可得 CF＝AE＝2x，故 FH＝CF﹣CH＝x，在 Rt△GFH 中，x2+42＝（8﹣
3x）2，解得 x的值从而可得 AE 的长为 6 2﹣；
（3）①过O作OQ⊥AD 于Q，连接 OA，OD，OG，由点 O为矩形 ABCD 的对称中心，EF 过点 O，可
得O为EF 中点，OA＝OD，OQ＝AB＝2，证明△GOQ∽△OEQ，得 ＝ ，即 GQ•EQ＝OQ2，故
GQ•EQ＝4，即可得（4﹣a）（4﹣b）＝4；
②连接 B'D，OG，OB，证明 B'F＝DE，OD＝OB＝OB'，可得△DOG≌△B'OG（SSS），∠ODG＝
∠OB'G，从而△DGK≌△B'GH（ASA），DK＝B'H，GK＝GH，即可证△OGK≌△OGH（SSS），得
S△OGK＝S△OGH，有 ＝ ，而∠EGF＝∠DGB'，GE＝GF，GD＝GB'，知 EF∥B'D，可得
△OKF∽△DKB'，△EGF∽△DGB'，得 ＝ ， ＝ ＝ ＝ ＝ ，又
△EGF∽△DGB'，有 ＝ ，当 a＝1时，b＝ ，即 AE＝1，DG＝ ，即可得 ＝ ＝ ＝
＝ ．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GEF＝∠BFE，
∵四边形 ABFE 与A′B′FE 关于 EF 所在直线成轴对称，
∴∠BFE＝∠GFE，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF；
（2）解：过 G作GH⊥BC 于H，如图：
设DG＝x，则 AE＝2x，
∴GE＝AD﹣AE﹣DG＝8 3﹣x＝GF，
∵∠GHC＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形 GHCD 是矩形，
∴GH＝CD＝AB＝4，CH＝DG＝x，
∵点O为矩形 ABCD 的对称中心，
∴CF＝AE＝2x，
∴FH＝CF﹣CH＝x，
在Rt△GFH 中，FH2+GH2＝GF2，
∴x2+42＝（8 3﹣x）2，
解得 x＝3+ （此时 AE 大于 AD，舍去）或 x＝3﹣，
∴AE＝2x＝6 2﹣；
∴AE 的长为 6 2﹣；
（3）①证明：过 O作OQ⊥AD 于Q，连接 OA，OD，OG，如图：
∵点O为矩形 ABCD 的对称中心，EF 过点 O，
∴O为EF 中点，OA＝OD，OQ＝AB＝2，
∵GE＝GF，
∴OG⊥EF，
∴∠GOQ＝90°﹣∠EOQ＝∠QEO，
∵∠GQO＝90°＝∠OQE，
∴△GOQ∽△OEQ，
∴＝ ，即 GQ•EQ＝OQ2，
∴GQ•EQ＝4，
∵OA＝OD，OQ⊥AD，
∴AQ＝DQ＝AD＝4，
∴EQ＝AQ﹣AE＝4﹣a，GQ＝DQ﹣GD＝4﹣b，
∴（4﹣a）（4﹣b）＝4；
②解：连接 B'D，OG，OB，如图：
∵四边形 ABFE 与A′B′FE 关于 EF 所在直线成轴对称，
∴BF＝B'F，
∵点O为矩形 ABCD 的对称中心，
∴BF＝DE，
∴B'F＝DE，
同理 OD＝OB＝OB'，
由（1）知 GF＝GE，
∴B'F﹣GF＝DE﹣GE，即 B'G＝DG，
∵OG＝OG，
∴△DOG≌△B'OG（SSS），
摘要：
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培优冲刺03四边形压轴题综合1、四边形与翻折的综合2、四边形与旋转的综合3、四边形与新定义的综合4、四边形与中点的综合题型一：四边形与翻折的综合有翻折必有全等，并且是轴对称类型的全等，所以，当四边形压轴题出现翻折或折叠时，一般都是从轴对称类的全等入手思考！【中考真题练】1．（2023•西宁）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D′处，MD′与BC交于点N．【猜想】MN＝CN．【验证】请将下列证明过程...
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