培优冲刺03 四边形压轴题综合（解析版）

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培优冲刺 03 四边形压轴题综合

1、四边形与翻折的综合

2、四边形与旋转的综合

3、四边形与新定义的综合

4、四边形与中点的综合

题型一：四边形与翻折的综合

有翻折必有全等，并且是轴对称类型的全等，所以，当四边形压轴题出现翻折或折叠时，一般都

是从轴对称类的全等入手思考！

【中考真题练】

1．（2023•西宁）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数

学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．

【操作】如图 1，在矩形 ABCD 中，点 M在边 AD 上，将矩形纸片 ABCD 沿MC 所在的直线折叠，使点

D落在点 D′处，MD′与BC 交于点 N．

【猜想】MN＝CN．

【验证】请将下列证明过程补充完整：

∵矩形纸片 ABCD 沿MC 所在的直线折叠，

∴∠CMD＝　∠ CMD ′ 　，

∵四边形 ABCD 是矩形，

∴AD∥BC （矩形的对边平行），

∴∠CMD＝　∠ MCN 　（　两直线平行，内错角相等　），

∴　∠ CMD ′ 　＝　∠ MCN 　（等量代换），

∴MN＝CN（　等角对等边　）．

【应用】

如图 2，继续将矩形纸片 ABCD 折叠，使 AM 恰好落在直线 MD′上，点 A落在点 A′处，点 B落在点 B′处，

折痕为 ME．

（1）猜想 MN 与EC 的数量关系，并说明理由；

（2）若 CD＝2，MD＝4，求 EC 的长．

【分析】【验证】根据折叠的性质得到∠CMD＝∠CMD′，根据矩形的性质推出∠CMD＝∠MCN，则

∠CMD′＝∠MCN，根据等腰三角形的判定即可得解；

【应用】（1）根据折叠的性质得到∠AME＝∠A′ME，根据矩形的性质推出∠AME＝∠MEN，则∠A

′ME＝∠MEN，根据等腰三角形的判定即可得出 MN＝EN，结合 MN＝CN 即可得解；

（2）根据矩形的性质、折叠的性质得出∠D＝∠D'＝90°，DC＝D'C＝2，MD＝MD′＝4，设 MN＝NC＝

x，则 ND′＝4﹣x，根据勾股定理求解即可．

【解答】解：【验证】∵矩形纸片 ABCD 沿MC 所在的直线折叠，

∴∠CMD＝∠CMD′，

∵四边形 ABCD 是矩形，

∴AD∥BC（矩形的对边平行），

∴∠CMD＝∠MCN（两直线平行，内错角相等），

∴∠CMD′＝∠MCN（等量代换），

∴MN＝CN（等角对等边）．

故答案为：∠CMD′；∠MCN；两直线平行，内错角相等；∠CMD′＝∠MCN；等角对等边；

【应用】（1）EC＝2MN；理由如下：

∵由四边形 ABEM 折叠得到四边形 A′B′EM，

∴∠AME＝∠A′ME，

∵四边形 ABCD 是矩形，

∴AD∥BC（矩形的对边平行），

∴∠AME＝∠MEN（两直线平行，内错角相等），

∴∠A′ME＝∠MEN，

∴MN＝EN（等角对等边），

∵MN＝CN，

∴MN＝EN＝NC，

即EC＝2MN；

（2）∵矩形 ABCD 沿MC 所在直线折叠，

∴∠D＝∠D'＝90°，DC＝D'C＝2，MD＝MD′＝4，

设MN＝NC＝x，

∴ND′＝MD′﹣MN＝4﹣x，

在Rt△ND′C中，∠D'＝90°，

∴ND'2+D'C2＝NC2，

∴（4﹣x）2+22＝x2，

解得，

∴MN＝，

∴EC＝2MN＝5．

2．（2023•衢州）如图 1，点 O为矩形 ABCD 的对称中心，AB＝4，AD＝8，点 E为AD 边上一点（0＜AE

＜3），连结 EO 并延长，交 BC 于点 F．四边形 ABFE 与A′B′FE 关于 EF 所在直线成轴对称，线段 B′F

交AD 边于点 G．

（1）求证：GE＝GF．

（2）当 AE＝2DG 时，求 AE 的长．

（3）令 AE＝a，DG＝b．

①求证：（4﹣a）（4﹣b）＝4．

②如图 2，连结 OB′，OD，分别交 AD，B′F于点 H，K．记四边形 OKGH 的面积为 S1，△DGK 的面积

为S2，当 a＝1时，求的值．

【分析】（1）由四边形 ABCD 是矩形，可得∠GEF＝∠BFE，而四边形 ABFE 与A′B′FE 关于 EF 所在直

线成轴对称，有∠BFE＝∠GFE，故∠GEF＝∠GFE，GE＝GF；

（2）过 G作GH⊥BC 于H，设 DG＝x，可知 AE＝2x，GE＝AD﹣AE﹣DG＝8 3﹣x＝GF，根据点 O为

矩形 ABCD 的对称中心，可得 CF＝AE＝2x，故 FH＝CF﹣CH＝x，在 Rt△GFH 中，x2+42＝（8﹣

3x）2，解得 x的值从而可得 AE 的长为 6 2﹣；

（3）①过O作OQ⊥AD 于Q，连接 OA，OD，OG，由点 O为矩形 ABCD 的对称中心，EF 过点 O，可

得O为EF 中点，OA＝OD，OQ＝AB＝2，证明△GOQ∽△OEQ，得＝，即 GQ•EQ＝OQ2，故

GQ•EQ＝4，即可得（4﹣a）（4﹣b）＝4；

②连接 B'D，OG，OB，证明 B'F＝DE，OD＝OB＝OB'，可得△DOG≌△B'OG（SSS），∠ODG＝

∠OB'G，从而△DGK≌△B'GH（ASA），DK＝B'H，GK＝GH，即可证△OGK≌△OGH（SSS），得

S△OGK＝S△OGH，有＝，而∠EGF＝∠DGB'，GE＝GF，GD＝GB'，知 EF∥B'D，可得

△OKF∽△DKB'，△EGF∽△DGB'，得＝，＝＝＝＝，又

△EGF∽△DGB'，有＝，当 a＝1时，b＝，即 AE＝1，DG＝，即可得＝＝＝

＝．

【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠GEF＝∠BFE，

∵四边形 ABFE 与A′B′FE 关于 EF 所在直线成轴对称，

∴∠BFE＝∠GFE，

∴∠GEF＝∠GFE，

∴GE＝GF；

（2）解：过 G作GH⊥BC 于H，如图：

设DG＝x，则 AE＝2x，

∴GE＝AD﹣AE﹣DG＝8 3﹣x＝GF，

∵∠GHC＝∠C＝∠D＝90°，

∴四边形 GHCD 是矩形，

∴GH＝CD＝AB＝4，CH＝DG＝x，

∵点O为矩形 ABCD 的对称中心，

∴CF＝AE＝2x，

∴FH＝CF﹣CH＝x，

在Rt△GFH 中，FH2+GH2＝GF2，

∴x2+42＝（8 3﹣x）2，

解得 x＝3+ （此时 AE 大于 AD，舍去）或 x＝3﹣，

∴AE＝2x＝6 2﹣；

∴AE 的长为 6 2﹣；

（3）①证明：过 O作OQ⊥AD 于Q，连接 OA，OD，OG，如图：

∵点O为矩形 ABCD 的对称中心，EF 过点 O，

∴O为EF 中点，OA＝OD，OQ＝AB＝2，

∵GE＝GF，

∴OG⊥EF，

∴∠GOQ＝90°﹣∠EOQ＝∠QEO，

∵∠GQO＝90°＝∠OQE，

∴△GOQ∽△OEQ，

∴＝，即 GQ•EQ＝OQ2，

∴GQ•EQ＝4，

∵OA＝OD，OQ⊥AD，

∴AQ＝DQ＝AD＝4，

∴EQ＝AQ﹣AE＝4﹣a，GQ＝DQ﹣GD＝4﹣b，

∴（4﹣a）（4﹣b）＝4；

②解：连接 B'D，OG，OB，如图：

∵四边形 ABFE 与A′B′FE 关于 EF 所在直线成轴对称，

∴BF＝B'F，

∵点O为矩形 ABCD 的对称中心，

∴BF＝DE，

∴B'F＝DE，

同理 OD＝OB＝OB'，

由（1）知 GF＝GE，

∴B'F﹣GF＝DE﹣GE，即 B'G＝DG，

∵OG＝OG，

∴△DOG≌△B'OG（SSS），

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摘要：

培优冲刺03四边形压轴题综合1、四边形与翻折的综合2、四边形与旋转的综合3、四边形与新定义的综合4、四边形与中点的综合题型一：四边形与翻折的综合有翻折必有全等，并且是轴对称类型的全等，所以，当四边形压轴题出现翻折或折叠时，一般都是从轴对称类的全等入手思考！【中考真题练】1．（2023•西宁）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D′处，MD′与BC交于点N．【猜想】MN＝CN．【验证】请将下列证明过程...

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