培优冲刺04 几何最值问题综合（解析版）
2025-05-16
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培优冲刺 04 几何最值问题综合
1、将军饮马类几何最值
2、辅助圆类几何最值
3、瓜豆原理类几何最值
4、其他类几何最值
题型一：将军饮马类几何最值
1.“两定一动”型将军饮马：
① 异侧型→直接连接，交点即为待求动点；后用勾股定理求最值
② 同侧型→对称、连接；后续同上
2. “两定两动”型：
① 同侧型→先水平平移（往靠近对方的方向）、再对称、最后连接；也可先对称、再水平平移
（往靠近对方的方向）、最后连接；后续同上。
同侧型
异侧型
② 异侧型→先水平平移（往靠近对方的方向）、再连接；后续同上。
【中考真题练】
1．（2023•泸州）如图，E，F是正方形 ABCD 的边 AB 的三等分点，P是对角线 AC 上的动点，当 PE+PF
取得最小值时， 的值是 ．
【分析】找出点 E关于 AC 的对称点 E'，连接 FE'与AC 的交点 P'即为 PE+PF 取得最小值时，点 P的位
置，再设法求出 的值即可．
【解答】解：作点 E关于 AC 的对称点 E'，连接 FE'交AC 于点 P'，连接 PE'，
∴PE＝PE'，
∴PE+PF＝PE'+PF≥E'F，
故当 PE+PF 取得最小值时，点 P位于点 P'处，
∴当PE+PF 取得最小值时，求 的值，只要求出 的值即可．
∵正方形 ABCD 是关于 AC 所在直线轴对称，
∴点E关于 AC 所在直线对称的对称点 E'在AD 上，且 AE'＝AE，
过点 F作FG⊥AB 交AC 于点 G，
则∠GFA＝90°，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，
∴FG∥BC∥AD，∠AGF＝∠ACB＝45°，
∴GF＝AF，
∵E，F是正方形 ABCD 的边 AB 的三等分点，
∴AE'＝AE＝EF＝FB，
∴GC＝AC， ，
∴AG＝AC， ，
∴AP'＝AG＝AC＝AC，
∴P'C＝AC﹣AP'＝AC﹣AC＝AC，
∴＝ ，
故答案为： ．
2．（2023•德州）如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点 E在AB 上，且 AE
＝1．F，G为边 AD 上的两个动点，且 FG＝1．当四边形 CGFE 的周长最小时，CG 的长为 ．
【分析】先确定 FG 和EC 的长为确定的值，得到四边形 CGFE 的周长最小时，即为 CG+EF 最小时，平
移CG 到C'F，作点 E关于 AD 对称点 E'，连接 E'C'交AD 于点 G'，得到 CG+EF 最小时，点 G与G'重合，
再利用平行线分线段成比例求出 C'G'长即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠B＝90°，
∵AB＝3，BC＝4，AE＝1，
∴BE＝AB﹣AE＝3 1﹣＝2，
在Rt△EBC 中，
由勾股定理，得 EC＝ ＝ ＝ ，
∵FG＝1，
∴四边形 CGFE 的周长＝CG+FG+EF+EC＝CG+EF+1+ ，
∴四边形 CGFE 的周长最小时，只要 CG+EF 最小即可．
过点 F作FC'∥GC 交BC 于点 C'，延长 BA 到E'，使 AE'＝AE＝1，连接 E'F，E'C'，E'C'交AD 于点 G'，
可得 AD 垂直平分 E'E，
∴E'F＝EF，
∵AD∥BC，
∴C'F＝CG，CC'＝FG＝1，
∴CG+EF＝C'F+E'F≥E'C'，
即CG+EF 最小时，CG＝C'G'，
∵E'B＝AB+AE'＝3+1＝4，BC'＝BC﹣CC'＝4 1﹣＝3，
由勾股定理，得 E'C'＝ ＝ ＝5，
∵AG'∥BC'，
∴＝ ，即 ＝ ，
解得 C'G'＝ ，
即四边形 CGFE 的周长最小时，CG 的长为 ．
故答案为： ．
3．（2023•绥化）如图，△ABC 是边长为 6的等边三角形，点 E为高 BD 上的动点．连接 CE，将 CE 绕点
C顺时针旋转 60°得到 CF．连接 AF，EF，DF，则△CDF 周长的最小值是 3+3 ．
【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点 F在△ABC 外，使∠CAF
＝30°的射线 AF 上，根据将军饮马型，求得 DF+CF 的最小值便可求得本题结果．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，
∵CE＝CF，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴∠CAF＝∠CBE，
∵△ABC 是等边三角形，BD 是高，
∴∠CBE＝ ∠ABC＝30°，CD＝AC＝3，
过C点作 CG⊥AF，交 AF 的延长线于点 G，延长 CG 到H，使得 GH＝CG，连接 AH，DH，DH 与AG
交于点 I，连接 CI，FH，
则∠ACG＝60°，CG＝GH＝AC＝3，
∴CH＝AC＝6，
∴△ACH 为等边三角形，
∴DH＝CD•tan60°＝ ，
AG 垂直平分 CH，
∴CI＝HI，CF＝FH，
∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝3，
CF+DF＝HF+DF≥DH，
∴当F与I重合时，即 D、F、H三点共线时，CF+DF 的值最小为：CF+DF＝DH＝3，
∴△CDF 的周长的最小值为 3+3 ．
故答案为：3+3 ．
【中考模拟练】
1．（2024•衡南县模拟）已知：如图，直线 y＝﹣2x+4 分别与 x轴，y轴交于 A、B两点，点 P（1，0），
若在直线 AB 上取一点 M，在 y轴上取一点 N，连接 MN、MP、NP，则 MN+MP+NP 的最小值是（
）
A．3 B．C．D．
【分析】作点 P关于 y轴的对称点 E，点 P关于 AB 的对称点 F，连接 EN，EM，EF，FM，FP，设 FP
交AB 于C，过点 F作FD⊥x轴于 D，则 EN＝NP，FM＝MP，FP⊥AB，OE＝OP，FC＝
PC，MN+MP+NP＝MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得 MN+FM+EN≥EF，则
MN+MP+NP≥EF，因此 MN+MP+NP 的最小值为线段 EF 的长；先求出点 A（2，0），点 B（0，4），
则OA＝2，OB＝4，再由点 P（1，0）得 OP＝1，则 OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝1，再求出 AB＝
，证△PAC∽△BAO 得PC：OB＝PA：AB，由此得 PC＝ ，则 PF＝ ，再证△PFD∽△BAO 得
FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，由此可得 FD＝ ，PD＝ ，则 ED＝OE+OP+PD＝ ，然后在
Rt△EFD 中由勾股定理求出 EF 即可得 MN+MP+NP 的最小值．
【解答】解：作点 P关于 y轴的对称点 E，点 P关于 AB 的对称点 F，连接 EN，EM，EF，FM，FP，设
FP 交AB 于C，过点 F作FD⊥x轴于 D，如图所示：
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培优冲刺04几何最值问题综合1、将军饮马类几何最值2、辅助圆类几何最值3、瓜豆原理类几何最值4、其他类几何最值题型一：将军饮马类几何最值1.“两定一动”型将军饮马：①异侧型→直接连接，交点即为待求动点；后用勾股定理求最值②同侧型→对称、连接；后续同上2.“两定两动”型：①同侧型→先水平平移（往靠近对方的方向）、再对称、最后连接；也可先对称、再水平平移（往靠近对方的方向）、最后连接；后续同上。同侧型异侧型②异侧型→先水平平移（往靠近对方的方向）、再连接；后续同上。【中考真题练】1．（2023•泸州）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，...
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