培优冲刺04 几何最值问题综合（解析版）

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培优冲刺 04 几何最值问题综合

1、将军饮马类几何最值

2、辅助圆类几何最值

3、瓜豆原理类几何最值

4、其他类几何最值

题型一：将军饮马类几何最值

1.“两定一动”型将军饮马：

① 异侧型→直接连接，交点即为待求动点；后用勾股定理求最值

② 同侧型→对称、连接；后续同上

2. “两定两动”型：

① 同侧型→先水平平移（往靠近对方的方向）、再对称、最后连接；也可先对称、再水平平移

（往靠近对方的方向）、最后连接；后续同上。

同侧型

异侧型

② 异侧型→先水平平移（往靠近对方的方向）、再连接；后续同上。

【中考真题练】

1．（2023•泸州）如图，E，F是正方形 ABCD 的边 AB 的三等分点，P是对角线 AC 上的动点，当 PE+PF

取得最小值时，的值是　　．

【分析】找出点 E关于 AC 的对称点 E'，连接 FE'与AC 的交点 P'即为 PE+PF 取得最小值时，点 P的位

置，再设法求出的值即可．

【解答】解：作点 E关于 AC 的对称点 E'，连接 FE'交AC 于点 P'，连接 PE'，

∴PE＝PE'，

∴PE+PF＝PE'+PF≥E'F，

故当 PE+PF 取得最小值时，点 P位于点 P'处，

∴当PE+PF 取得最小值时，求的值，只要求出的值即可．

∵正方形 ABCD 是关于 AC 所在直线轴对称，

∴点E关于 AC 所在直线对称的对称点 E'在AD 上，且 AE'＝AE，

过点 F作FG⊥AB 交AC 于点 G，

则∠GFA＝90°，

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴∠DAB＝∠B＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，

∴FG∥BC∥AD，∠AGF＝∠ACB＝45°，

∴GF＝AF，

∵E，F是正方形 ABCD 的边 AB 的三等分点，

∴AE'＝AE＝EF＝FB，

∴GC＝AC，，

∴AG＝AC，，

∴AP'＝AG＝AC＝AC，

∴P'C＝AC﹣AP'＝AC﹣AC＝AC，

∴＝，

故答案为：．

2．（2023•德州）如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点 E在AB 上，且 AE

＝1．F，G为边 AD 上的两个动点，且 FG＝1．当四边形 CGFE 的周长最小时，CG 的长为　　．

【分析】先确定 FG 和EC 的长为确定的值，得到四边形 CGFE 的周长最小时，即为 CG+EF 最小时，平

移CG 到C'F，作点 E关于 AD 对称点 E'，连接 E'C'交AD 于点 G'，得到 CG+EF 最小时，点 G与G'重合，

再利用平行线分线段成比例求出 C'G'长即可．

【解答】解：∵∠A＝90°，AD∥BC，

∴∠B＝90°，

∵AB＝3，BC＝4，AE＝1，

∴BE＝AB﹣AE＝3 1﹣＝2，

在Rt△EBC 中，

由勾股定理，得 EC＝＝＝，

∵FG＝1，

∴四边形 CGFE 的周长＝CG+FG+EF+EC＝CG+EF+1+ ，

∴四边形 CGFE 的周长最小时，只要 CG+EF 最小即可．

过点 F作FC'∥GC 交BC 于点 C'，延长 BA 到E'，使 AE'＝AE＝1，连接 E'F，E'C'，E'C'交AD 于点 G'，

可得 AD 垂直平分 E'E，

∴E'F＝EF，

∵AD∥BC，

∴C'F＝CG，CC'＝FG＝1，

∴CG+EF＝C'F+E'F≥E'C'，

即CG+EF 最小时，CG＝C'G'，

∵E'B＝AB+AE'＝3+1＝4，BC'＝BC﹣CC'＝4 1﹣＝3，

由勾股定理，得 E'C'＝＝＝5，

∵AG'∥BC'，

∴＝，即＝，

解得 C'G'＝，

即四边形 CGFE 的周长最小时，CG 的长为．

故答案为：．

3．（2023•绥化）如图，△ABC 是边长为 6的等边三角形，点 E为高 BD 上的动点．连接 CE，将 CE 绕点

C顺时针旋转 60°得到 CF．连接 AF，EF，DF，则△CDF 周长的最小值是　 3+3 　．

【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点 F在△ABC 外，使∠CAF

＝30°的射线 AF 上，根据将军饮马型，求得 DF+CF 的最小值便可求得本题结果．

【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，

∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，

∵∠ECF＝60°，

∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，

∵CE＝CF，

∴△BCE≌△ACF（SAS），

∴∠CAF＝∠CBE，

∵△ABC 是等边三角形，BD 是高，

∴∠CBE＝ ∠ABC＝30°，CD＝AC＝3，

过C点作 CG⊥AF，交 AF 的延长线于点 G，延长 CG 到H，使得 GH＝CG，连接 AH，DH，DH 与AG

交于点 I，连接 CI，FH，

则∠ACG＝60°，CG＝GH＝AC＝3，

∴CH＝AC＝6，

∴△ACH 为等边三角形，

∴DH＝CD•tan60°＝，

AG 垂直平分 CH，

∴CI＝HI，CF＝FH，

∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝3，

CF+DF＝HF+DF≥DH，

∴当F与I重合时，即 D、F、H三点共线时，CF+DF 的值最小为：CF+DF＝DH＝3，

∴△CDF 的周长的最小值为 3+3 ．

故答案为：3+3 ．

【中考模拟练】

1．（2024•衡南县模拟）已知：如图，直线 y＝﹣2x+4 分别与 x轴，y轴交于 A、B两点，点 P（1，0），

若在直线 AB 上取一点 M，在 y轴上取一点 N，连接 MN、MP、NP，则 MN+MP+NP 的最小值是（　

　）

A．3 B．C．D．

【分析】作点 P关于 y轴的对称点 E，点 P关于 AB 的对称点 F，连接 EN，EM，EF，FM，FP，设 FP

交AB 于C，过点 F作FD⊥x轴于 D，则 EN＝NP，FM＝MP，FP⊥AB，OE＝OP，FC＝

PC，MN+MP+NP＝MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得 MN+FM+EN≥EF，则

MN+MP+NP≥EF，因此 MN+MP+NP 的最小值为线段 EF 的长；先求出点 A（2，0），点 B（0，4），

则OA＝2，OB＝4，再由点 P（1，0）得 OP＝1，则 OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝1，再求出 AB＝

，证△PAC∽△BAO 得PC：OB＝PA：AB，由此得 PC＝，则 PF＝，再证△PFD∽△BAO 得

FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，由此可得 FD＝，PD＝，则 ED＝OE+OP+PD＝，然后在

Rt△EFD 中由勾股定理求出 EF 即可得 MN+MP+NP 的最小值．

【解答】解：作点 P关于 y轴的对称点 E，点 P关于 AB 的对称点 F，连接 EN，EM，EF，FM，FP，设

FP 交AB 于C，过点 F作FD⊥x轴于 D，如图所示：

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摘要：

培优冲刺04几何最值问题综合1、将军饮马类几何最值2、辅助圆类几何最值3、瓜豆原理类几何最值4、其他类几何最值题型一：将军饮马类几何最值1.“两定一动”型将军饮马：①异侧型→直接连接，交点即为待求动点；后用勾股定理求最值②同侧型→对称、连接；后续同上2.“两定两动”型：①同侧型→先水平平移（往靠近对方的方向）、再对称、最后连接；也可先对称、再水平平移（往靠近对方的方向）、最后连接；后续同上。同侧型异侧型②异侧型→先水平平移（往靠近对方的方向）、再连接；后续同上。【中考真题练】1．（2023•泸州）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，...

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