专题28 菱形的性质与判定【十四大题型】（举一反三）（原卷版）

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专题 28 菱形的性质与判定【十四大题型】
【题型 1 根据菱形的性质求周长、角度、线段长、面积、坐标】.......................................................................2
【题型 2 菱形的判定定理的理解】............................................................................................................................3
【题型 3 证明四边形是菱形】....................................................................................................................................4
【题型 4 根据菱形的性质与判定求线段长】...........................................................................................................5
【题型 5 根据菱形的性质与判定求角度】................................................................................................................6
【题型 6 根据菱形的性质与判定求面积】................................................................................................................8
【题型 7 根据菱形的性质与判定解决多结论问题】...............................................................................................9
【题型 8 与菱形有关的新定义问题】......................................................................................................................10
【题型 9 与菱形有关的规律探究问题】..................................................................................................................13
【题型 10 与菱形有关的动点问题】.........................................................................................................................14
【题型 11 菱形与一次函数综合】.............................................................................................................................16
【题型 12 菱形与反比例函数综合】.........................................................................................................................17
【题型 13 菱形与一次函数、反比例函数综合】....................................................................................................18
【题型 14 菱形与二次函数综合】.............................................................................................................................20
【知识点 菱形的性质与判定】
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质：
1）具有平行四边形的所有性质；
2）四条边都相等；
3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱
形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心.
菱形的判定：
1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2）一组邻边相等的平行四边形是菱形.
3）四条边相等的四边形是菱形.
【解题思路】判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角
线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分．
A
菱形的面积公式：S=ah=对角线乘积的一半（其中 a为边长，h为高）.
菱形的周长公式：周长 l=4a（其中 a为边长）.
【题型 1 根据菱形的性质求周长、角度、线段长、面积、坐标】
【例 1】（2023·河南濮阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形
ABOC
的边
BO
在
x
轴上，固定点
B、O
，把菱形沿箭头方向推，使点
C
落在
y
轴正半轴上点
处，若
∠CO C'=30 °
，
O C'=2
，则点
A
的
坐标为（ ）
A．
(
−
√
3,1
)
B．
(
−2,1
)
C．
(
−3,
√
3
)
D．
(
−2,
√
3
)
【变式 1-1】（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，菱形
ABCD
中，以点
A
为圆心，以
AB
长为半径画弧，分
别交
BC ,CD
于点
E
，
F
． 若
∠EAF=60 °
，则
∠D
的度数为 ．
【变式 1-2】（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，四边形
ABCD
是平行四边形，连接
AC
，
BD
交于点
O
，
DE
平分
∠ADB
交
AC
于点
E
，
BF
平分
∠CBD
交
AC
于点
F
，连接
BE
，
DF
．
(1)求证：
∠1=∠2
；
(2)若四边形
ABCD
是菱形且
AB=2
，
∠ABC=120°
，求四边形
BEDF
的面积．
【变式 1-3】（2023·浙江·模拟预测）如图，在菱形
ABCD
中，
E
、
F
分别为线段
AB
、
CD
上一点，将菱形
ABCD
沿着
EF
翻折，翻折后
A
、
D
的对应点分别为
A ' 、D '
，
A ' D '
与
CD
交于点
G
．已知
AB=5, AE=1,sin ∠ABC =3
5
，若
EF ∥AD , A ' G=¿
若
∠EFD=135 ° , A ' G=¿
．
【题型 2 菱形的判定定理的理解】
【例 2】（2023·安徽淮北·淮北市第二中学校考二模）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到E，
使DE＝AD，连接 EB，EC，DB，下列条件中，不能使四边形 DBCE 成为菱形的是（　　）
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ABE＝90° D．BE 平分∠DBC
【变式 2-1】（2023·河北承德·校联考模拟预测）依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（
）
A． B．
C． D．
【变式 2-2】（2023·北京·模拟预测）如图，在四边形
ABCD
中，E，F，G，H分别是
AB
，
BC
，
CD
，
DA
的中点，请添加一个与四边形
ABCD
对角线有关的条件，使四边形
EFGH
是菱形，则添为 ．
【变式 2-3】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）小青和小云是同班同学，在上网课期间，老师在电脑上
出示了如图所示的任意四边形
ABCD，E，F，G，H
分别为
AB，BC ，CD ，DA
的中点，要求她
们添加一个条件使得四边形
EFGH
为菱形，小青添加的条件是
AC =BD
，小云添加的条件是
EG ⊥HF
，
则下列说法正确的是（　　）
A．小青和小云都正确 B．小青正确，小云错误
C．小青错误，小云正确 D．小青和小云都错误
【题型 3 证明四边形是菱形】
【例 3】（2023·湖南岳阳·统考二模）已知：如图，在
▱ABCD
中，点
E，F
分别在
AD ，BC
上，
BE
平
分
∠ABC
．请从以下三个条件：①
AE=BF
；②
AB=EF
；③
AB∥EF
中，选择一个合适的条件，使四
边形
ABFE
为菱形．
(1)你添加的条件是_______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明四边形
ABFE
为菱形．
【变式 3-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，
AB∥CD
，连接
BC
，请用尺规作图法，分别在
AB
，
CD
上求作 E，F，连接
CE
，
BF
，使得四边形
CEBF
是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式 3-2】（2023·浙江杭州·校考二模）已知：如图，在平行四边形
ABCD
中，
∠ABC
的平分线交
AD
于点 E，点 F是
BE
的中点，连接
AF
并延长交
BC
于点 G，连接
EG ，CF
．
(1)求证：四边形
AEGB
是菱形；
(2)若
tan∠ABC =
√
3
，
CD=8，AD=10
，求
CF
的长．
【变式 3-3】（2023·江西吉安·校考三模）如图，在
△ABC
中，
AB=BC=4
，
∠C=30°
，
D
是
BC
上的
动点，以
D
为圆心，
DC
的长为半径作圆交
AC
于点
E
，
F，G
分别是
AB，AE
上的点，将
△AFG
沿
FG
折叠，点
A
与点
E
恰好重合．
(1)如图 1，若
CD=8
√
3−12
，证明
⊙D
与直线
AB
相切；
(2)如图 2，若
⊙D
经过点
B
，连接
ED
．
①
´
BE
的长是 　 　；
② 判断四边形
BFED
的形状，并证明．
【题型 4 根据菱形的性质与判定求线段长】
【例 4】（2023·浙江温州·校联考模拟预测）如图，在
Rt △ABC
中，
∠ACB=90 °
，
AE
平分
∠CAB
交
CB
于点 E，
CD ⊥AB
于点 D，交
AE
于点 G，过点 G作
GF ∥BC
交
AB
于F，连接
EF
．
(1)求证：
CG=CE
；
摘要：

专题28菱形的性质与判定【十四大题型】【题型1根据菱形的性质求周长、角度、线段长、面积、坐标】.......................................................................2【题型2菱形的判定定理的理解】............................................................................................................................3【题型3证明四边形是菱形】...............................

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