专题33 新定义型（含高中知识衔接）问题（解析版）

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2024 年中考数学真题专题分类精选汇编（2025 年中考复习全国通用）

专题 33 新定义型（含高中知识衔接）问题

一、选择题

1. （2024 四川眉山）定义运算：，例如，则函数

的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，

求最值即可．

【详解】解：由题意得，，

即，

当时，函数的最小值为．

故选：B．

2. （2024 四川宜宾）如果一个数等于它的全部真因数（含单位 1，不含它本身）的和，那么这个数

称为完美数．例如：6的真因数是 1、2、3，且，则称 6为完美数．下列数中为完美数的

是（）

A. 8 B. 18 C. 28 D. 32

【答案】C

【解析】本题考查新定义，解题的关键是正确读懂新定义．根据新定义逐个判断即可得到答案．

∵ ，，

∴8不是完美数，故选项 A不符合题意；

∵ ，，

∴18 不是完美数，故选项 B不符合题意；

∵ ，，

∴28 是完美数，故选项 C符合题意；

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∵ ，，

∴32 不

是

完美数，故选项 D不符合题意；

故选：C

3. （2024 山东威海）定义新运算：

① 在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（

）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例

如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记

作．

② 加法运算法则：，其中，，，为实数．

若，则下列结论正确的是（）

A. ，B. ，

C. ，D. ，

【答案】B

【解析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出，即可求解．

∵，

∴

解得：，

故选：B．

4. （2024 湖南省）在平面直角坐标系中，对于点，若 x，y均为整数，则称点 P为“整

点 ” ．特别地，当（其中）的值为整数时，称 “ 整点 ” P为 “ 超整点 ”，已知点

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在第二象限，下列说法正确的是（）

A. B. 若点 P为“整点”，则点 P的个数为 3个

C. 若点 P为“超整点”，则点 P的个数为 1个D. 若点 P为“超整点”，则点 P到两坐标轴的

距离之和大于 10

【答案】C

【解析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征

求出 a的取值范围，即可判断选项 A，利用“整点”定义即可判断选项 B，利用“超整点”定义即

可判断选项 C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项 D．

【详解】∵点在第二象限，

∴ ，

∴ ，故选项 A错误；

∵点为“整点”，，

∴整数 a为，，0，1，

∴点 P的个数为 4个，故选项 B错误；

∴“整点”P为，，，，

∵ ，，，

∴“超整点”P为，故选项 C正确；

∵点为“超整点”，

∴点 P坐标为，

∴点 P到两坐标轴的距离之和，故选项 D错误，

故选：C．

5. （2024 四川遂宁）如图 1，与满足，，，

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，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图 2，在中，，点

在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（）

A. 1 对B. 2 对C. 3 对D. 4 对

【答案】D

【解析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，

一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解．

【详解】解：∵，

∴ ，

在和中，，

在中，，

在

中，，

在中，

综上所述，共有 4对“伪全等三角形”，

故选：D．

二、填空题

1. （2024 甘肃威武）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且

）．例：，则 ________．

【答案】8

【解析】根据定义，得，解得即可．

本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．

【详解】根据定义，得，

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故答案为：8．

2. （2024 上海市）对于一个二次函数（）中存在一点，使得

，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线

“开口大小”为__________．

【答案】4

【解析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，

理解新定义抛物线的 “ 开口大小 ” ，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到

，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关

键．

【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得

，则，

，

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