专题38 锐角三角函数及其应用【二十个题型】（举一反三）（原卷版）

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专题 38 锐角三角函数及其应用【二十个题型】
【题型 1 理解正弦、余弦、正切的概念】................................................................................................................3
【题型 2 求角的三角函数值】....................................................................................................................................4
【题型 3 由三角函数值求边长】................................................................................................................................5
【题型 4 求特殊角的三角函数值】............................................................................................................................6
【题型 5 由特殊角的三角函数值求角的度数】.......................................................................................................7
【题型 6 含特殊角的三角函数值的混合运算】.......................................................................................................7
【题型 7 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】...............................................................................................8
【题型 8 已知角度比较三角函数值大小】................................................................................................................8
【题型 9 根据三角函数值判断锐角的取值范围】...................................................................................................9
【题型 10 利用同角三角函数关系求解】.................................................................................................................10
【题型 11 互余两角三角函数关系】.........................................................................................................................10
【题型 12 构造直角三角形解直角三角形】............................................................................................................11
【题型 14 在坐标系中解直角三角形】.....................................................................................................................14
【题型 15 解直角三角形的相关计算】.....................................................................................................................16
【题型 16 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】....................................................................................17
【题型 17 解直角三角形的应用之仰角、俯角问题】............................................................................................18
【题型 18 解直角三角形的应用之方位角问题】....................................................................................................20
【题型 19 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】................................................................................................22
【题型 20 解直角三角形的应用之实际生活模型】................................................................................................23
【知识点 锐角三角函数】
知识点 1：锐角三角函数的概念
1．锐角三角函数：
① 定义：都是在直角三角形中定义的，正弦 ，余弦 ，正切 ，余切 ．
② 特殊角的三角函数值：
A
B
C
a
b
c
三角函数
无
无
③ 同角三角函数关系： ， ， ．
④ 互余角三角函数关系：若 ，则 ， ．
2．钝角三角函数：
互补角三角函数：若 ，则 ， ， ．
知识点 2：解直角三角形
1．解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有 5个元素，即 3条边和 2个锐角，由直角三角形中除直角外的已
知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形的边角关系
（1）三边之间的关系： ．（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：
（3）边角之间的关系： ， ， ．
3．解直角三角形的四种基本类型
已知条件 解法类型
一条边和
一个锐角
斜边 c和锐角 ， ，
直角边 a和锐角 ， ，
两条边
两条直角边 a和b， ，
斜边 c和直角边 a， ，
4．解一般三角形
（1）利用三角函数值构造直角三角形，然后解直角三角形．
（2）把角度进行转移，利用常见的倒角模型和平行线进行角度转移．
知识点 3：解直角三角形的应用
1．相关概念
（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫
做俯角．如图 1．
（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度 h和水平宽度 l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为 ，
坡面与水平面的夹角记作 ，叫做坡角，则 ．坡度越大，坡面就越陡．如图 2．
（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向
旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图 3．
俯角
仰角
视线
视线
铅
垂
线
i
=
h
:
l
l
h
北
图1 图2 图3
2．解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：
（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距
离、垂直距离等概念的意义；
（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分
割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近
似值，注明单位．
【题型 1 理解正弦、余弦、正切的概念】
【例 1】（2023·安徽·模拟预测）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为
∠α
，叙述正确的是（　
　）
A．
sin α
的值越大，梯子越陡
B．
cos α
的值越大，梯子越陡
C．
tan α
的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与
∠α
的函数值无关
【变式 1-1】（2023·安徽·模拟预测）在
Rt △ABC
中，
∠C=90 °
，若
△ABC
的三边都扩大 5倍，则
sin A
的值（ ）
A．放大 5倍B．缩小 5倍C．不能确定 D．不变
【变式 1-2】（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角
31 °
的斜坡向上滚动了 5米，此时钢球距地面的高度
是（单位：米）（ ）
A．
5 cos31 °
B．
5 sin 31°
C．
5
sin 31°
D．
5 tan 31 °
【变式 1-3】（2023·河北石家庄·校联考一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面 CG 向上运动，
∠C=α
，
箱高
AB=1
米，当
BC=2
米时，点 A离地面 CE 的距离是（ ）米．
A．
1
cosα+2
sin α
B．
1
cosα+1
2 sin α
C．
cos α+2 sin α
D．
2 cos α+sin α
【题型 2 求角的三角函数值】
【例 2】（2023·广东东莞·校联考一模）如图，在正方形
ABCD
中，
BC=5
，点
G，H
分别在
BC ，CD
上，
且
BG=CH =2，AG
与
BH
交于点
O，N
为
AD
的中点，连接
ON
，作
OM ⊥ON
交
AB
于点M，连接
MN
，则
tan∠AMN
的值为 ．
【变式 2-1】（2023·上海杨浦·统考一模）在
Rt △ABC
中，
∠ABC=90∘
，
BD ⊥AC
，垂足为点
D
，如
果
AB=5
，
BD=2
，那么
cos C=¿
．
【变式 2-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，
△ABC
是
⊙O
内接三角形，
AC
是
⊙O
的直径，点
E
是弦
DB
上一点，连接
CE
，
CD
．
(1)若
∠DCA=∠ECB
，求证：
CE ⊥DB
；
(2)在(1)的条件下，若
AB=6
，
DE=5
，求
sin ∠DBC
．
【变式 2-3】（2023·浙江·一模）如图，在矩形 ABCD 中，
AB=9
，E为CD 上一点
tan∠EAD=1
3
，以 E
为圆心，EA 为半径的弧交 AB 于F，交BC 于G，若 F为弧AG 的中点，则
AF=¿
，
tan∠GEC=¿
．
【题型 3 由三角函数值求边长】
【例 3】（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在
Rt △ABC
中，D是
AC
的中点，
BD
平分
∠ABF
，
∠C=90 °
且
tan A=1
2
，
BC=8
，
CF ∥AB
，则
DF =¿
．
摘要：

专题38锐角三角函数及其应用【二十个题型】【题型1理解正弦、余弦、正切的概念】................................................................................................................3【题型2求角的三角函数值】....................................................................................................................................4【题...

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