2002年上海高考数学试卷（理）（自主命题）（解析卷）

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2002年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答
一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，每个空格填对得4分，否则一律得零分
。
1．若z∈C，且 (3+z)i=1 (i是虚数单位)，则z = .
2．已知向量
a
和
b
的夹角为120°，且|
a
|=2，|
b
|=5，则（2
a
—
b
）·
a
= .
3．方程log3(1—2·3x)=2x+1的解x= .
4．若正四棱锥的底面边长为2
3
cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大
小是 .
5．在二项式(1+3x)n和(2x+5)n的展开式中，各项系数之和分别记为an、bn，n是正整数，则
nn
nn
nba
ba
43
2
lim
= .
6．已知圆 (x+1)2+y2=1和圆外一点P (0，2)，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切是
.
7．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件.竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14
名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2个受贿，则有效分中没有受
贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示）
8．曲线
12
1
2
ty
tx
（t为参数）的焦点坐标是 .
9．若A、B两点的极坐标为A（4，
3
）、B（6，0），则AB中点的极坐标是
.（极角用反三角函数表示）
10．设函数f (x)=sin2x.若f (x+t)是偶函数，则t的一个可能值是 .
11．若数列
}{ n
a
中，a1=3，且an+1=an2（n是正整数），则数列的通项公式an= .
12．已知函数y=f (x)（定义域为D，值域为A）有反函数y=f -1(x)，则方程f
(x)=0有解x=a，且f (x)＞x（x∈D）的充要条件是y=f -1(x)满足 .
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结
论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对
得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
13．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）
（A）{z||z|=1,
6
≤argz≤
6
5
,z∈C} ； （B）{z||z|≤1,
6
≤argz≤
6
5
,z∈C}
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Ox
y
π
π
-π
-π
Ox
y
π
π
-π
-π
Ox
y
π
π
-π
-π
Ox
y
π
π
-π
-π
AB C D
A
B
A
B
O
P
D
O'
'
'
（C）{z||z|=1, Imz≥
2
1
,z∈C} ； （D）{z||z|≤1, Imz≥
2
1
,z∈C}
14．已知直线
l
、m，平面α、β，且
l
⊥α，m
β.给出下列四个命题：（1）若α∥β，则
l
⊥
m
；（2）若
l
⊥m，则α∥β；（3）若α⊥β，则
l
⊥m；（4）若
l
∥α，则α⊥β，其中正确命题的
个数是（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
15．函数y=x+sin|x|，x∈[—π，π]的大致图象是（ ）
16．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系.如图（1）表示某年12个
月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量.根据这些信息，以下
关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）
（A）气温最高时，用电量最多 （B）气温最低时，用电量最少
（C）当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加；
（D）当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加
三、解答题（本大题满分86分）解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（本题满分12分）如右上图，在直三棱柱ABO—
A/B/O/中，OO/=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A/B/的中点，P是侧棱BB/上的一
点.若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
18．（本题满分12分）已知点A（—
3
，0）和B（
3
，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线
y=x—2交于D、E两点.求线段DE的长.
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