2002年上海高考数学试卷（理）（自主命题）（解析卷）

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y
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-1 1
0.5
绝密★启用前
2002 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间 120 分钟，试卷共 4页，满分 150 分，答题纸共 2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题满分为 48 分）本大题共有 12 题，每个空格填对得 4分，否则一律得
零分。
1．若 z∈C ，且 (3+z)i=1 (i 是虚数单位)，则 z = .
2．已知向量 和 的夹角为 120°，且| |=2，| |=5，则（2 — ）· = .
3．方程 log3(1—2·3x)=2x+1 的解 x= .
4．若正四棱锥的底面边长为 2 cm，体积为 4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的
大小是 .
5．在二项式(1+3x)n和(2x+5)n的展开式中，各项系数之和分别记为 an、bn，n是正整数，则
= .
6．已知圆 (x+1)2+y2=1 和圆外一点 P (0，2)，过点 P作圆的切线，则两条切线夹角的正切是
.
7．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件.竞赛委员会决定将裁判由原来的 9名增至
14 名，但只任取其中 7名裁判的评分作为有效分.若14 名裁判中有 2个受贿，则有效分中
没有受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示）
8．曲线 （t为参数）的焦点坐标是 .
9．若 A、B两点的极坐标为 A（4， ）、B（6，0），则 AB 中点的极坐标是 .（极角
用反三角函数表示）
10．设函数 f (x)=sin2x.若f (x+t)是偶函数，则 t的一个可能值是 .
11．若数列 中，a1=3，且 an+1=an2（n是正整数），则数列的通项公式 an= .
12．已知函数 y=f (x)（定义域为 D，值域为 A）有反函数 y=f -1(x)，则方程 f (x)=0 有解
x=a，且 f (x)＞x（x∈D）的充要条件是 y=f -1(x)满足 .
二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4题，每题都给出代号为 A、B、C、D的四个
结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选
对得 4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零
分。
13 ．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）
（A）{z||z|=1, ≤argz≤ ,z∈C} ； （B）{z||z|≤1, ≤argz≤ ,z∈C}
（C）{z||z|=1, Imz≥ ,z∈C} ； （D）{z||z|≤1, Imz≥ ,z∈C}
14．已知直线 、m，平面 α、β，且 ⊥α，m β.给出下列四个命题：（1）若 α β∥，则
⊥m ；（2）若 ⊥m，则 α β∥；（3）若 α β⊥，则 ⊥m；（4）若 ∥α，则 α β⊥，其
中正确命题的个数是（ ）
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-π
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-π
AB C D
月份
121110
9
8
7
6
54
3
21
气温
30
25
20
15
10
5
121110
9
8
7
6
54
3
21 1
20
40
80
60
100
120
140 用 电 量
月 份
A
B
A
B
O
P
D
O'
'
'
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个
15．函数 y=x+sin|x|，x∈[—π，π] 的大致图象是（ ）
16 ℃．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（ ）有一定的关系.如图（1）表示某年12 个
月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在 12 个月中每月的用电量.根据这些信息，以下
关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）
（A ）气温最高时，用电量最多 （B ）气温最低时，用电量最少 （C）当气温大于
某一值时，用电量随气温增高而增加； （D）当气温小于某一值时，用电量随气温降低
而增加
三、解答题（本大题满分 86 分）解答下列各题必须写出必要的步骤。
17 ．（本题满分 12 分）如右上图，在直三棱柱ABO—A/B/O/中 ， OO/
=4 ，OA=4 ，OB=3 ，∠AOB=90° ，D是 线 段A/B/的 中 点 ， P是 侧 棱 BB/上 的 一 点 .若
OP⊥BD，求OP 与底面 AOB 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
18．（本题满分 12 分）已知点 A —（ ，0）和 B（ ，0），动点C到A、B两点的
距离之差的绝对值为 2，点 C的轨迹与直线 y=x—2 交于 D、E两点.求线段DE 的长.
19．（本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第（1）小题满分 6分，第（2）小题满分 8分。
已知函数 f (x)=x2+2x·tanθ—1，x∈[—1，]，其中 θ∈—（ ， ）.
（1）当θ= — 时，求函数 y=f (x)的最大值与最小值；
（2）求θ的取值范围，使y=f (x)在区间[—1，]上是单调函数.
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