2024届江苏省百校大联考高三上学期第二次模拟预测考试 数学答案

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江苏省百校联考高三年级第二次考试
数学试卷参考答案
1.D
　
【解析】法一:因为 z(1+i)=1-3i,
所以 z=
1- 3i
1+i
=
( 1 -3 i)(1 -i)
(1+i)(1 -i)
=
1- 3 -4 i
2
=-1-2i,所以|
z
−¿¿
|=|z|=
❑
√
5
,故选 D.
法二:两边取模|z(1+i)|=|1-3i|,得|z|·|1+i|=|1-3i|,所以|
z
−¿¿
|=|z|=
❑
√
5
,故选 D.
2.C
　
【解析】解不等式
<-1,即
x
x-1
<0,所以 0<x<1,即M=(0,1),由ln x<1,得
0<x<e,所以 N=(0,e),所以 M∪N=(0,e),故选 C.
3.C
　
【解析】a=(-2,1),c=(2,t).
若a∥c,t×(-2)=2×1,得t=-1,此时 a与c互为相反向量;
若a·c=(-2)×2+t=t-4>0,得t>4,此时向量 a与c的夹角为锐角.
故“t>4”是“向量 a与c的夹角为锐角”的充要条件,故选 C.
4.C
　
【解析】由图象知 T=4×(
7π
12
-
π
3
)=π,故ω=2.
将(
7π
12
,-1)代入解析式,得sin(
7π
6
+φ)=-1,所以
7π
6
+φ=-
π
2
+2kπ,k∈Z,
又|φ|<
π
2
,即φ=
π
3
,所以 f(x)=sin(2x+
π
3
).故选 C.
5.C
　
【解析】抛掷两次总的基本事件有 36 个.当x=1时,没有满足条件的基本事件;
当x=2时,y=1满足;当x=3时,y=1,2,6 满足;当x=4时,y=1,2,3,5,6 满足;
当x=5时,y=1,2,6 满足;当x=6时,y=1满足.总共有 13 种满足题意,所以 P(A)=
13
36
,
故选 C.
6.B
　
【解析】设切点为(x0,ln x0),y'=
1
x
,则
{
a=1
x0
,
a x0+b=ln x0,
)
得b=ln x0-1,∴2a+b=
2
x0
+ln
x0-1.设f(x)=
2
x
+ln x-1(x>0),f'(x)=-
2
x2
+
1
x
=
x-2
x2
,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,+∞)时,
f'(x)>0,
∴f(x)min=f(2)=ln 2,∴2a+b 的最小值为 ln 2.
7.C
　
【解析】因为抛物线 C过点 P(1,-2),所以抛物线 C的方程为 y2=4x,线段 AB 长度的最
小值为通径 2p=4,所以 A错误;
*
由定义知 AA1=AF,AA1∥x轴,所以∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,所以
∠A1FB1=90°,所以 B错误;
设直线与抛物线 C交于 AB:x=my+1,联立抛物线,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1·y2=-4,kOA=
y1
x1
=
4
y1
=-y2,因为 B1(-1,y2),所以
kO B1
=-y2=kOA,A,O,B1三点共线,所以 C正确;
设AB 的中点为 M(x0,y0),则y0=
y1+y2
2
=2m,x0=my0+1=2m2+1,取m=-1,M(3,-2),所以
D错误.故选 C.
8.D
　
【解析】当 n=1时,a1=
1
2
,由Sn+1+an+1=1,得2an+1-an=0,∴an=
1
2n
,显然{an}递减,要
使得 an最小,即要使得 n最大,令
1
2n
≥
1
2m+1
,得2n≤2m+1.若m=1,则n≤1,b1=a1=
1
2
;若
2≤m≤3,则n≤2,bm=a2=
1
4
;若4≤m≤7,则n≤3,bm=a3=
1
8
;若8≤m≤15,则
n≤4,bm=a4=
1
16
;…;若1024≤m≤2047,则n≤11,bm=a11=
1
211
.∴T1=b1=
1
2
,T3=b1+
(b2+b3)=
1
2
+
1
2
=1,T7=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)=
1
2
+
1
2
+
1
2
=
3
2
,…,∴T2047=11×
1
2
=
11
2
,∴T2023=
11
2
-
24
211
=
11
2
-
3
28
,故选 D.
9.ABD
　
【解析】f(x)是R上的奇函数,因此 f(0)=0,A 正确;
由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2),所以 2是它的一个周期,B 正确;
f(2023)=f(2×1011+1)=f(1),而f(1)=0,C 错误;
f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),因此 f(5)=f(4)+f(3),D 正确.故选 ABD.
10.BD
　
【解析】A选项,与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A错误;
B选项,易证明线段 PQ 与线段 RS 的中点重合,故B正确;
C选项,当k越来越接近渐近线的斜率时,S△ORB 会趋向于无穷,不可能有最大值,故C错误;
D选项,联立直线 l与渐近线 y=
b
a
x,解得 S(
a2
❑
√
2b+a
,
a b
❑
√
2b+a
),
联立直线 l与渐近线 y=-
b
a
x,解得 R(
a2
-❑
√
2b+a
,
a b
❑
√
2b-a
),由题可知,
⃗
R S
=2
⃗
S B
,
所以 yS-yR=2(yB-yS),即3yS=yR+2yB,
3a b
❑
√
2b+a
=
a b
❑
√
2b-a
,解得 b=
❑
√
2
a,所以 e=
❑
√
3
,故D正确.故选 BD.
11.BCD
　
【解析】对于 A,假设 BD⊥AP,则BD⊥平面 ACD1,因为 AC⊂平面 ACD1,所以
BD⊥AC,则四边形 ABCD 是菱形,AB=AD,A 不正确;
对于 B,由平行六面体 ABCD-A1B1C1D1得CD1∥平面 ABB1A1,所以四棱锥 P-ABB1A1的底面积
和高都是定值,所以体积是定值,B 正确;
*
对于 C,
⃗
A C1
=
⃗
A B
+
⃗
A D
+
⃗
A A1
,
⃗
A M
=
⃗
A B
+
1
2
⃗
A D
,故2
⃗
A M
-
⃗
A C1
=
⃗
A B
-
⃗
A A1
=
⃗
A1B
,故C
正确;
对于 D,设
⃗
PC
=λ
⃗
D1C
,
⃗
P A
·
⃗
PC
=(
⃗
PC
+
⃗
C B
+
⃗
B A
)·
⃗
PC
=(λ
⃗
D1C
-
⃗
A D
-
⃗
A B
)·λ
⃗
D1C
=(λ
⃗
A1B
-
⃗
A D
-
⃗
A B
)·λ
⃗
A1B
=(λ
⃗
A B
-λ
⃗
A A1
-
⃗
A D
-
⃗
A B
)·(λ
⃗
A B
-λ
⃗
A A1
)
=λ(λ-1)|
⃗
A B
|2-λ2
⃗
A A1
·
⃗
A B
-λ
⃗
A D
·
⃗
A B
-λ(λ-1)
⃗
A B
·
⃗
A A1
+λ2|
⃗
A A1
|2+λ
⃗
A D
·
⃗
A A1
=λ(λ-1)|
⃗
A B
|2-(2λ2-λ)
⃗
A A1
·
⃗
A B
-λ
⃗
A D
·
⃗
A B
+λ2|
⃗
A A1
|2+λ
⃗
A D
·
⃗
A A1
=λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos 60°-λ×2cos 60°+4λ2+λ·2cos 60°
=4λ2-2λ=(2λ-
1
2
)2-
1
4
≥-
1
4
,
当且仅当 λ=
1
4
时,等号成立,所以
⃗
P A
·
⃗
PC
的最小值为-
1
4
,故D正确.故选 BCD.
12.BD
　
【解析】对于 A,因为 a=1,所以方程 f(x)=0即ex+1-x=0,又ex≥x+1>x-1,所以
ex+1-x>0恒成立,所以方程 f(x)=0不存在实数根,所以 A错误.
对于 B,因为 f(x)=a(ex+a)-x,定义域为 R,所以 f'(x)=aex-1,
当a≤0 时,由于 ex>0,则aex≤0,故f'(x)=aex-1<0恒成立,
所以 f(x)在R上单调递减,所以 B正确.
对于 C,由上知,当a>0时,令f'(x)=aex-1=0,解得 x=-ln a.
当x<-ln a时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减;
当x>-ln a时,f'(x)>0,则f(x)在(-ln a,+∞)上单调递增.
当a>0时,f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.
所以函数 f(x)有最小值,即最小值在 x=-ln a处取得,所以 C错误.
对于 D,由上知 f(x)min=f(-ln a)=a(e-ln a+a)+ln a=1+a2+ln a,
要证 f(x)>2ln a+
3
2
,即证 1+a2+ln a>2ln a+
3
2
,即证 a2-
1
2
-ln a>0恒成立,
令g(a)=a2-
1
2
-ln a(a>0),则g'(a)=2a-
1
a
=
2a2- 1
a
.
令g'(a)<0,则0<a<
❑
√
2
2
;令g'(a)>0,则a>
❑
√
2
2
.
所以 g(a)在(0,
❑
√
2
2
)上单调递减,在(
❑
√
2
2
,+∞)上单调递增,
*
摘要：

江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷参考答案1.D　【解析】法一:因为z(1+i)=1-3i,所以z=1-3i1+i=(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3-4i2=-1-2i,所以|z−¿¿|=|z|=❑√5,故选D.法二:两边取模|z(1+i)|=|1-3i|,得|z|·|1+i|=|1-3i|,所以|z−¿¿|=|z|=❑√5,故选D.2.C　【解析】解不等式1x-14”是“向量a与c的夹角为锐角”的充要条件,故选C.4.C　【解析】由图象知T=4×(7π12-π3)=π,故ω=2.将(7π12,-1)代入解析式,得sin(7π6+φ)=-1,所以7π6+φ=-π2+2k...

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