高三12月月考数学（理科）（全国乙卷）（全解全析及评分标准）(1)

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理科数学 全解全析及评分标准 第1页（共 13 页）
2024 届高三 12 月大联考（全国乙卷）
理科数学·全解全析及评分标准
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A C D B B A D C D B D
1．B 【解析】因为
{ | 2 1}
M x x
 
，
{ | 2
N x x
 
或
1}
x
 
，所以
M N
( 2, 1]
 
，故选 B．
2．A 【解析】设
i
z a b
 
( )
a b
R
,，则
i 2( i) 1 6i
a b a b
 
，所以
2 1
a a
 
，
2 6
b b
 
，解得
1
a
 
，
2
b
 
，所以 2 2
| | 5
z a b   ，故选 A．
3．C 【解析】执行程序框图，初始值
1 1
s n
 
，，判断“是”，
第一次执行循环体：
2 3
s n
 
，，判断“是”；
第二次执行循环体：
5 8
s n
 
，，判断“是”；
第三次执行循环体：
13 21
s n
 
，，判断“是”；
第四次执行循环体：
34 55
s n
 
，，判断“是”；
第五次执行循环体：
89 144
s n
 
，，判断“否”，输出
s
的值为
89
．故选 C．
4．D 【解析】由题意，得
4
cos
5
 
，
3
sin
5
，
所以 5π 3π 3π 3π
2
cos( ) cos( ) cos cos sin sin
4 4 4 4 10
 
    ，故选 D．
5．B 【解析】设等比数列
{ }
n
a
的公比为
( 0)
q q
，则
2
3 1 1
4
1
5
3
( 1)
4
,
(1 ) 15
1 8
a a a q
a q
Sq
 
 
解得
1
2
q
或
3
q
 
（舍去），
所以 1
1
a
 
，所以 2
1
2
a
 
．故选 B．
6．B 【解析】记事件
A
“甲与乙站在同一排”，事件
B
“甲与乙不相邻”，则
2 5 2 5
4 5 3 5
( ) A A A A
n A ，
2 5 2 5
2 5 2 5
( ) A A 3A A
n AB   ．由条件概率公式，得
( ) 4
( | )
( ) 9
n AB
P B A n A
 
．故选 B．
7．A 【解析】由三视图，知这款水杯的下部分是上底边长为 4，下底边长为 3，高为 6的正六棱台，
2
3 27 3
6 3
4 2
S 
下底，2
3
6 4 24 3
4
S 
上底， 所 以 这 款 水 杯 下 部 分 的 容 （ 体 ） 积 约 为
1
( )
3
V S S S S h
 
下底 上底 下底 上底
1 27 3 27 3
( 24 3 24 3 ) 6 111 3
3 2 2
  ．故选 A．
{#{QQABIQYQogigAgBAABgCEQFoCEGQkAGCCIoGRFAEoAIAwRFABAA=}#}
理科数学 全解全析及评分标准 第2页（共 13 页）
8．D 【解析】令
( ) 1
f x
，则 2
| log | 1
x
( (0 4))
x
，或3
1( [4, ))
3x
x
 
，解得
1
2
x
或
2
x
或
6
x
．
令
( ) 3
f x
，则 2
| log | 3
x
( (0 4))
x
，或3
3( [4, ))
3x
x
 
，解得
1
8
x
或
4
x
．
画出函数
( )
f x
图象的草图(如图)，得满足
1 ( ) 3
f x
 
的
x
的取值范围为 1 1
[ ] [2 6]
8 2 ，
，
．故选 D．
9．C 【解析】如图，由题意，得
(2,0)
F，准线
0
l
：
2
x
 
．
设直线
l
的方程为
y kx
（由题意，知
k
存在且
0
k
），则点
( 2, 2 )
M k
 
，2
8 8
( , )
N
k k
.
设线段
MN
的中点为
E
，则点 2
4 4
( 1 , )
E k
k k
 
，所以直线
EF
的斜率
2
4
4
3
EF
k
k
k
k
．
由
| | | |
MF NF
，得
EF l
，所以
1
EF l
k k
 
，所以
2
4
1
4
3
kkk
k
 
 
 
，
整理得 4 2
4 0
k k
 
，解得 2
1 17
2
k
，
所以 2
8
17 1
k
 
，所以点
N
的横坐标为
17 1
．故选 C．
10 ．D【 解 析 】 由 已 知 ， 得 π
( ) cos 2 sin 2 2 2 cos(2 ) 2
4
f x x x x
 
 
， 所 以
π
( ) 2 cos( 2 ) 2
4
g x x
 
 
． 因 为
( )
g x
为 偶 函 数 ， 所 以 π2 π
( )
4k k
 
Z
， 即
ππ
( )
8 2
kk
 
Z
． 又
π
0
2
 
，所以
π
8
， 所 以 π π
( ) 2 cos( ) 2
4 4
f x x
 
，
{#{QQABIQYQogigAgBAABgCEQFoCEGQkAGCCIoGRFAEoAIAwRFABAA=}#}
理科数学 全解全析及评分标准 第3页（共 13 页）
π
( ) 2 cos 2
8
g x x
 
，所以
( )
g x
的最小正周期为 16，
(2024) (16 126 8) (8) 2 2
g g g
 
，所以
A，B不正确．
由π
π 2 π ( 1) 2 π
( )
4
k x k k 
Z
,得
8 5 8 1( )
k x k k
 
Z
， 所 以
( )
f x
的 单 调 递 增 区 间 为
[8 5 8 1]( )
k k k
 
Z
，，所以
( )
f x
在
(2021 2023)
，上单调递增，在
(2023 2024)
，上单调递减，所以 C不正
确；由 π( 1) π
( )
4x k k 
Z
， 得
4 1( )
x k k
 
Z
，所以
( )
f x
在
4 1( )
x k k
 
Z
处取得极值．由
0 4 1 2024
k
 
，得
1 506( )
k k
 
Z
，所以 D正确．故选 D．
11．B 【解析】方法一：如图，设双曲线
E
的半焦距为
c
，连接
2 2
AF BF
，，因为
1 2
MF MF
，所以
2 2
| | | |
AF BF
．设 2
| |
AF m
，由双曲线的定义，得 1
| | 2
AF m a
  ，1
| | 2
BF a m
 
，所以
| | 4
AB a
，
| | | | 2
AM BM a
 
，1
| |
MF m
，所以
2 2 2 2 2
2
| | 4 4
MF m a c m
  ，即
2 2 2
2 2
m c a
  .设1 2
BF F
 
，
则2
2
MOF
， 所 以 2
2 tan
tan 2 3
1 tan
 
， 解 得 2
1
tan 1
3
 
.又
2
1
| |
tan
| |
MF
MF
，所以
2 2
2
1 4
1
3
m a
m
 
，解得
2 2
6
m a
，所以
2 2 2
2 2 6
c a a
，即
2 2
2
c a
，所以
2
c
ea
  ．故选 B．
方法二：如图，设双曲线
E
的半焦距为
c
，连接
2 2
AF BF
，，因为
1 2
MF MF
，所以
2 2
| | | |
AF BF
．
设2
| |
AF m
，由双曲线的定义，得 1
| | 2
AF m a
  ，1
| | 2
BF a m
 
，所以
| | 4
AB a
．
设直线
l
的方程为
x ty c
 
，
1 1
( )
A x y
,
，
2 2
( )
B x y
,
．
由2 2
2 2
,
1
x ty c
x y
a b
 
 
消去
x
并整理，得 2 2 2 2 2 4
( ) 2 0
b t a y b tcy b
 
.
4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2
4 4 ( ) 4 4 0
b t c b b t a b t a b a
 
，
因为直线
l
与双曲线
E
的两支相交，所以 1
b b
a t a
 
，即 2 2 2
0
b t a
 
．
{#{QQABIQYQogigAgBAABgCEQFoCEGQkAGCCIoGRFAEoAIAwRFABAA=}#}
摘要：

理科数学全解全析及评分标准第1页（共13页）2024届高三12月大联考（全国乙卷）理科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。123456789101112BACDBBADCDBD1．B【解析】因为{|21}Mxx，{|2Nxx或1}x，所以MN(2,1]，故选B．2．A【解析】设izab()abR,，则i2(i)16iabab，所以21aa，26bb，解得1a，2b，所以22||5zab，故选A．3．C【解析】执行程序框图，初始值11sn，...

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