高三12月月考数学（理科）（全国乙卷）（全解全析及评分标准）(1)

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理科数学全解全析及评分标准第1页（共 13 页）

2024 届高三 12 月大联考（全国乙卷）

理科数学·全解全析及评分标准

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B A C D B B A D C D B D

1．B 【解析】因为

{ | 2 1}

M x x

   

，

{ | 2

N x x

 

或

 

，所以

M N





( 2, 1]

 

，故选 B．

2．A 【解析】设

z a b

 

( )

a b



,，则

i 2( i) 1 6i

a b a b

    

，所以

2 1

a a

 

，

2 6

b b

  

，解得

 

，

 

，所以 2 2

| | 5

z a b   ，故选 A．

3．C 【解析】执行程序框图，初始值

1 1

s n

 

，，判断“是”，

第一次执行循环体：

2 3

s n

 

，，判断“是”；

第二次执行循环体：

5 8

s n

 

，，判断“是”；

第三次执行循环体：

13 21

s n

 

，，判断“是”；

第四次执行循环体：

34 55

s n

 

，，判断“是”；

第五次执行循环体：

89 144

s n

 

，，判断“否”，输出

的值为

．故选 C．

4．D 【解析】由题意，得

cos



 

，

sin





，

所以 5π 3π 3π 3π

cos( ) cos( ) cos cos sin sin

4 4 4 4 10

   

      ，故选 D．

5．B 【解析】设等比数列

{ }

的公比为

( 0)

q q



，则

3 1 1

( 1)

(1 ) 15

1 8

a a a q

a q

   





  





解得



或

 

（舍去），

所以 1

 

，所以 2

 

．故选 B．

6．B 【解析】记事件



“甲与乙站在同一排”，事件



“甲与乙不相邻”，则

2 5 2 5

4 5 3 5

( ) A A A A

n A   ，

2 5 2 5

( ) A A 3A A

n AB   ．由条件概率公式，得

( ) 4

( | )

( ) 9

n AB

P B A n A

 

．故选 B．

7．A 【解析】由三视图，知这款水杯的下部分是上底边长为 4，下底边长为 3，高为 6的正六棱台，

3 27 3

6 3

4 2

S   

下底，2

6 4 24 3

S   

上底，所以这款水杯下部分的容（体）积约为

( )

V S S S S h

    

下底上底下底上底

1 27 3 27 3

( 24 3 24 3 ) 6 111 3

3 2 2

       ．故选 A．

{#{QQABIQYQogigAgBAABgCEQFoCEGQkAGCCIoGRFAEoAIAwRFABAA=}#}

理科数学全解全析及评分标准第2页（共 13 页）

8．D 【解析】令

( ) 1

f x



，则 2

| log | 1



( (0 4))



，或3

1( [4, ))

  

，解得



或



或



．

令

( ) 3

f x



，则 2

| log | 3



( (0 4))



，或3

3( [4, ))

  

，解得



或



．

画出函数

( )

f x

图象的草图(如图)，得满足

1 ( ) 3

f x

 

的

的取值范围为 1 1

[ ] [2 6]

8 2 ，

，

．故选 D．

9．C 【解析】如图，由题意，得

(2,0)

F，准线

：

 

．

设直线

的方程为

y kx



（由题意，知

存在且



），则点

( 2, 2 )

M k

 

，2

8 8

( , )

k k

设线段

的中点为

，则点 2

4 4

( 1 , )

E k

k k

   

，所以直线

的斜率







．

由

| | | |

MF NF



，得

EF l



，所以

EF l

k k

  

，所以

kkk

 

  

 

，

整理得 4 2

4 0

k k

  

，解得 2

1 17

k

，

所以 2

17 1

 

，所以点

的横坐标为

17 1



．故选 C．

10 ．D【解析】由已知，得 π

( ) cos 2 sin 2 2 2 cos(2 ) 2

f x x x x

  

     

，所以

( ) 2 cos( 2 ) 2

g x x

 

   

．因为

( )

g x

为偶函数，所以 π2 π

( )

4k k



  

，即

ππ

( )

8 2



  

．又



 

，所以





，所以 π π

( ) 2 cos( ) 2

4 4

f x x

  

，

{#{QQABIQYQogigAgBAABgCEQFoCEGQkAGCCIoGRFAEoAIAwRFABAA=}#}

理科数学全解全析及评分标准第3页（共 13 页）

( ) 2 cos 2

g x x

 

，所以

( )

g x

的最小正周期为 16，

(2024) (16 126 8) (8) 2 2

g g g

      

，所以

A，B不正确．

由π

π 2 π ( 1) 2 π

( )

k x k k     

,得

8 5 8 1( )

k x k k

    

，所以

( )

f x

的单调递增区间为

[8 5 8 1]( )

k k k

  

，，所以

( )

f x

在

(2021 2023)

，上单调递增，在

(2023 2024)

，上单调递减，所以 C不正

确；由 π( 1) π

( )

4x k k  

，得

4 1( )

x k k

  

，所以

( )

f x

在

4 1( )

x k k

  

处取得极值．由

0 4 1 2024

  

，得

1 506( )

k k

  

，所以 D正确．故选 D．

11．B 【解析】方法一：如图，设双曲线

的半焦距为

，连接

2 2

AF BF

，，因为

1 2

MF MF

，所以

2 2

| | | |

AF BF

．设 2

| |

AF m



，由双曲线的定义，得 1

| | 2

AF m a

  ，1

| | 2

BF a m

 

，所以

| | 4

AB a



，

| | | | 2

AM BM a

 

，1

| |

MF m



，所以

2 2 2 2 2

| | 4 4

MF m a c m

    ，即

2 2 2

2 2

m c a

  .设1 2

BF F



 

，

则2

MOF



  ，所以 2

2 tan

tan 2 3

1 tan





 

，解得 2

tan 1



 

.又

| |

tan

| |



，所以

2 2

1 4

m a



 

，解得

2 2

m a

，所以

2 2 2

2 2 6

c a a

  ，即

2 2

c a

，所以

  ．故选 B．

方法二：如图，设双曲线

的半焦距为

，连接

2 2

AF BF

，，因为

1 2

MF MF

，所以

2 2

| | | |

AF BF

．

设2

| |

AF m



，由双曲线的定义，得 1

| | 2

AF m a

  ，1

| | 2

BF a m

 

，所以

| | 4

AB a



．

设直线

的方程为

x ty c

 

，

1 1

( )

A x y

，

2 2

( )

B x y

．

由2 2

2 2

x ty c

x y

a b

 







 





消去

并整理，得 2 2 2 2 2 4

( ) 2 0

b t a y b tcy b

   

4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2

4 4 ( ) 4 4 0

b t c b b t a b t a b a



     

，

因为直线

与双曲线

的两支相交，所以 1

b b

a t a

  

，即 2 2 2

b t a

 

．

{#{QQABIQYQogigAgBAABgCEQFoCEGQkAGCCIoGRFAEoAIAwRFABAA=}#}

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摘要：

理科数学全解全析及评分标准第1页（共13页）2024届高三12月大联考（全国乙卷）理科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。123456789101112BACDBBADCDBD1．B【解析】因为{|21}Mxx，{|2Nxx或1}x，所以MN(2,1]，故选B．2．A【解析】设izab()abR,，则i2(i)16iabab，所以21aa，26bb，解得1a，2b，所以22||5zab，故选A．3．C【解析】执行程序框图，初始值11sn，...

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