福建4月质检数学答案

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数学参考答案及评分标准第 1页共 12 页

绝密★启用前试卷类型：A

2023-2024 学年福州市高三年级第三质量检测评分参考

数学 2024.4

一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 C D A B B C A D

1．已知复数 z满足 ( 1)i 1 iz   （i是虚数单位），则 z

A．1B．1C．iD．i

解析：∵

i i 1 iz  

，∴ i 1z，即 iz  ，故选 C.

2．已知角



的顶点在坐标原点，始边与 x轴非负半轴重合， 5

cos 5



，( , 2)P m 为其终边

上一点，则 m

A．4B．4C．1D．1

解析：∵ 5

cos 5



，∴ 2

tan 2



  ，∴ 1m，故选 D .

3．函数

( )

f x



的图象大致为

解析：结合该函数为偶函数，及

 

0 3f可判断应选 A.

4．在菱形 ABCD 中，若 | | | |AB AD AB 

  

，且 AD

 在AB

 上的投影向量为 AB



 ，则





A．1

B．1

C．2

D．2

解析：由已知 AB AD AB 

  

知该菱形中 AB AD BD  ，

∴由 D向AB 作垂线，垂足即为 AB 中点，∴ 1



，故选 B .

5．已知 5

log 2a，2

logb a，1

( )

c，则

数学参考答案及评分标准第 2页共 12 页

c b a 

c a b 

a b c 

b c a 

解析：∵ 5 5

log 2 log 5 1a   ，∴ 2

log 0b a  ，1

( ) 1

c  ，∴ c a b  ，故选 B.

6．棱长为

的正方体 1 1 1 1

ABCD A B C D中，点

为1

BD 上的动点，O为底面 ABCD 的中心，

则OP 的最小值为

A. 3

3B. 6

3C. 6

6D. 3

解析：在正方体中，易知 AC BD，1

AC DD，且 1

BD DD D，∴ AC 平面 1

BDD ，

易知当 OP 平面 1

BDD ，且 1

OP BD时， OP 的长度最小，

在1

RT BDD△中,不难求得 6

OP ，故选 C.

7．若直线 y ax b  与曲线 ex

y相切，则 a b的取值范围为

A．( ,e] B．[2,e] C．[e, ) D．[2, )

解析：设切点为 0

( ,e )

x，则 0

e ,

a

∴切线方程为 0 0

e ( ) e

x x

y x x   ，则 0

(1 )ex

b x  ，∴ 0

(2 )ex

a b x   ，

设0

( ) (2 )ex

f x x  ，则 0

( ) (1 )ex

f x x

  ，

易知函数 ( ) (1) ef x f  ，又 (2) 0 2f  ，故可判断选 A .

（由图象知当且仅当切线与曲线相切于

 

1,e 时， 1

1 e ea b a b      最大，亦可知选 A .）

8．已知函数 ( ) 2sin ( 3 sin cos )f x x x x

  

  ( 0)



在π

(0, )

3上单调递增，且对任意的实

数a，( )f x 在( , π)a a 上不单调，则



的取值范围为

A．5

(1, ]

2B．5

(1, ]

4C．1 5

( , ]

2 2 D．1 5

( , ]

2 4

解析：∵ π

( ) 2sin ( 3 sin cos ) 2sin(2 ) 3

f x x x x x

   

     ，

∵( )f x 在π

(0, )

3上单调递增，∴ π π π

23 3 2



   ，∴ 5



，

∵对任意的实数 a，( )f x 在区间 ( , π)a a 上不单调，∴ ( )f x 的周期 2πT，

∴2π 2π



  ，∴ 1



，∴ 1 5

2 4



  ，故选 D．

二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中,有多

项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．

数学参考答案及评分标准第 3页共 12 页

题号 9 10 11

答案 ABD ACD BC

9．双曲线

2 2

: 1

x y

Ca a

  ( 0)a的左、右焦点分别为 1

F，2

F，且 C的两条渐近线的夹角

为



，若 1 2

| | 2F F e（e为C的离心率），则

A．1aB．π



C．2eD．C的一条渐近线的斜率为 3

解析：易知该双曲线实半轴为 a，虚半轴为 3a，半焦距为 2a，

∴离心率 22

  ，∴焦距 4 4a，即 1a，∴选项 A正确，选项 C错误；

易知 C的两条渐近线的斜率为 33

    ，∴这两条渐近线的倾斜角分别为 π

3和2π

3，

∴C的两条渐近线的夹角为 π

3，∴选项 B，D正确；

综上所述，应选 ABD .

10. 定义在 R上的函数 ( )f x 的值域为 ( ,0) ，且 (2 ) ( ) ( ) 0f x f x y f x y    ，则

A．(0) 1f  B．2

(4) [ (1)] 0f f 

C．( ) ( ) 1f x f x  D．( ) ( ) 2f x f x   

解析：令 0x y  ，则

   

0 0 0f f  ，

∵函数 ( )f x 的值域为 ( ,0) ，∴ (0) 1f  ，选项 A正确；

令1x，0y，则 2

(2) [ (1)]f f  ，

令2x，0y，则 2 4

(4) [ (2)] [ (1)]f f f    ，∴选项 B错误；

令0x，则 (0) ( ) ( ) 0f f y f y   ，

∴( ) ( ) (0) 1f y f y f    ，即 ( ) ( ) 1f x f x  ，∴选项 C正确；

∵( ) 0f x  ，( ) 0f x   ，∴ [ ( ) ( )] 2 ( ) ( ) 2f x f x f x f x     

∴( ) ( ) 2f x f x    ，故选项 D正确；

综上所述，应选 ACD .

11. 投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量 1,

1, ( 1,2,3)

X n



 





第次投出正面,

第次投出反面, ．记 A

表示事件“1 2 0X X  ”，B表示事件“21X”，

表示事件“1 2 3 1X X X    ”，则

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摘要：

数学参考答案及评分标准第1页共12页绝密★启用前试卷类型：A2023-2024学年福州市高三年级第三质量检测评分参考数学2024.4一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CDABBCAD1．已知复数z满足(1)i1iz（i是虚数单位），则zA．1B．1C．iD．i解析：∵ii1iz，∴i1z，即iz，故选C.2．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，5cos5，(,2)Pm为其终边上一点，则mA．4B．4C．1D．1解析：∵5cos5，∴2tan2m...

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