福建省福州市2023-2024学年高三下学期2月份质量检测数学试卷

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2023~2024 学年福州市高三年级 2月份质量检测
数学试题
（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A．B．C．D．
2．已知点 在抛物线 上，则 的焦点到其准线的距离为（ ）
A．B．1 C．2 D．4
3．已知 是两个不共线的向量，若 与 是共线向量，则（ ）
A．B．C．D．
4．在 中， ，则 的面积为（ ）
A．2 B．C．4 D．
5．设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知正方形 的四个顶点都在椭圆上，粗圆的两个焦点分别在边 和 上，则该粗圆的离心率
为（ ）
A．B．C．D．
7．甲、乙、丙三个地区分别有 的人患了流感，且 构成以 1为公差的等差数列．已知这三
个地区的人口数的比为 ，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地
区的概率最大，则 的可能取值为（ ）
A．1.21 B．1.34 C．1.49 D．1.51
*
8．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ．若 的图象关于点
对称，且 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．已知等差数列 的前 项和为 ，则（ ）
A． 的最小值为 1 B． 的最小值为 1
C． 为递增数列 D． 为递减数列
10．在长方体 中， 为 的中点，则（ ）
A．B． 平面
C．点 到直线 的距离为 D．点 到平面 的距离为
11 ． 通 信 工 程 中 常 用 元 数 组 表 示 信 息 ， 其 中 或 ． 设
表示 和 中相对应的元素（ 对应 ， ）
不同的个数，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则存在 5个5元数组 ，使得
B．若 ，则存在 12 个5元数组 ，使得
C．若 元数组 ，则
D．若 元数组 ，则
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
*
12．在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 ______．
13．底面半径为 2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个高为 的圆锥，所得
的圆台的侧面积为______．
14．在平面直角坐标系 中，整点 （横坐标与纵坐标均为整数）在第一象限，直线 ， 与
分别切于 两点，与 轴分别交于 两点，则使得 周长为 的所
有点 的坐标是______．
四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知函数 是 的零点．
（1）求 的值；
（2）求函数 的值域．
16．（15 分）
如图，四棱锥 的底面为正方形，平面 平面 在 上，且 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 为 的中点，且 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
17．（15 分）
人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存
在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90 名学生，得到如下数据：
外向型 内向型
男性45 15
女性20 10
（1）以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这
*
三人中性格外向型的人数为 ，求 的数学期望．
（2）对表格中的数据，依据 的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性
别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10 倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两
种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．
附：参考公式： ．
0.1 0.05 0.01
2.70
63.841 6.635
18．（17 分）
已知双曲线 ，动直线 与 轴交于点 ，且与 交于 两点，
是 的等比中项， ．
（1）若 两点位于 轴的同侧，求 取最小值时 的周长；
（2）若 ，且 两点位于 轴的异侧，证明： 为等腰三角形．
19．（17 分）
已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求证： ；
（3）若 且 ，求证： ．
2023~2024 学年福州市高三年级 2月份质量检测
数学试题
参考答案
（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
*
摘要：

2023~2024学年福州市高三年级2月份质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（）A．B．1C．2D．43．已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（）A．B．C．D．4．在中，，则的面积为（）A．2B．C．4D．5．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知正方形的四个顶点都在椭圆上，粗圆的两个焦点分别在边和...

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