福建省福州市2023-2024学年高三下学期2月份质量检测数学试卷

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2023~2024 学年福州市高三年级 2月份质量检测

数学试题

（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）

友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！

一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．已知集合，则（）

A．B．C．D．

2．已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（）

A．B．1 C．2 D．4

3．已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（）

A．B．C．D．

4．在中，，则的面积为（）

A．2 B．C．4 D．

5．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

6．已知正方形的四个顶点都在椭圆上，粗圆的两个焦点分别在边和上，则该粗圆的离心率

为（）

A．B．C．D．

7．甲、乙、丙三个地区分别有的人患了流感，且构成以 1为公差的等差数列．已知这三

个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地

区的概率最大，则的可能取值为（）

A．1.21 B．1.34 C．1.49 D．1.51

8．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若的图象关于点

对称，且，则下列结论一定成立的是（）

A．B．

C．D．

二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。

9．已知等差数列的前项和为，则（）

A．的最小值为 1 B．的最小值为 1

C．为递增数列 D．为递减数列

10．在长方体中，为的中点，则（）

A．B．平面

C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为

11 ．通信工程中常用元数组表示信息，其中或．设

表示和中相对应的元素（对应，）

不同的个数，则下列结论正确的是（）

A．若，则存在 5个5元数组，使得

B．若，则存在 12 个5元数组，使得

C．若元数组，则

D．若元数组，则

三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。

12．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 ______．

13．底面半径为 2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个高为的圆锥，所得

的圆台的侧面积为______．

14．在平面直角坐标系中，整点（横坐标与纵坐标均为整数）在第一象限，直线，与

分别切于两点，与轴分别交于两点，则使得周长为的所

有点的坐标是______．

四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13 分）

已知函数是的零点．

（1）求的值；

（2）求函数的值域．

16．（15 分）

如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面在上，且．

（1）证明：平面；

（2）若为的中点，且，求平面与平面夹角的余弦值．

17．（15 分）

人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存

在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90 名学生，得到如下数据：

外向型内向型

男性45 15

女性20 10

（1）以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这

三人中性格外向型的人数为，求的数学期望．

（2）对表格中的数据，依据的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性

别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10 倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两

种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．

附：参考公式：．

0.1 0.05 0.01

2.70

63.841 6.635

18．（17 分）

已知双曲线，动直线与轴交于点，且与交于两点，

是的等比中项，．

（1）若两点位于轴的同侧，求取最小值时的周长；

（2）若，且两点位于轴的异侧，证明：为等腰三角形．

19．（17 分）

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）求证：；

（3）若且，求证：．

2023~2024 学年福州市高三年级 2月份质量检测

数学试题

参考答案

（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）

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一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一

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2023~2024学年福州市高三年级2月份质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（）A．B．1C．2D．43．已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（）A．B．C．D．4．在中，，则的面积为（）A．2B．C．4D．5．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知正方形的四个顶点都在椭圆上，粗圆的两个焦点分别在边和...

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