河北省衡水中学2022-2023学年高三上学期四调考试数学试卷

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河北省衡水中学 2023 届上学期高三年级四调考试
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共 4页，总分 150 分，考试时间
120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知
z=i(3−i)
2+i
，则
z
在复平面内对应的点位于
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一、三象限的角平分线上 D．第二、四象限的角平分线上
2．已知向量
a，b
满足
¿a∨¿2，b=(1，1)，∨a+b∨¿
√
10 ，
则向量
a
在向量
b
上的投影向量的
坐标为
A．
(
√
2
2,
√
2
2)
B．
C．
(−1, −1)
D．
(−
√
2
2,
√
2
2)
3．在
Rt ΔABC
中，
A=9 0∘，B=60∘，AB=2
，则
⃗
AB ⋅
⃗
BC=¿
A．
−4
B．
4
C．
−8
D．
8
4．已知
A，B，C
为平面内任意三点，则“
⃗
AB
与
⃗
AC
的夹角为钝角”是“
¿
⃗
AB+
⃗
AC∨¿∨
⃗
BC∨¿
”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．2 000 多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割，所谓黄金分割
点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，
黄金分割比为
√
5−1
2
．如图，在矩形
ABCD
中，
AC
与
BD
相交于点
O
，
BF ⊥AC
，
DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，
且点
E
为线段
BO
的黄金分割点，则
⃗
BF=¿
A．
3−
√
5
2
⃗
BA+5+
√
5
10
⃗
BG
B．
3−
√
5
2
⃗
BA+5−
√
5
10
⃗
BG
C．
√
5−1
2
⃗
BA+5−
√
5
10
⃗
BG
D．
3−
√
5
2
⃗
BA+
√
5
5
⃗
BG
6．已知复数 z满足
z⋅z+4i⋅z=5+ai
，则实数
a
的取值范围是
A．
[−4,4 ]
B．
[−6,6]
C．
[−8,8]
D．
[−12,12]
*
*
1
7．已知点
P
是
ΔABC
所在平面内一点，有下列四个等式：
①
⃗
PA+
⃗
PB+
⃗
PC=0
；②
⃗
PA ⋅(
⃗
PA −
⃗
PB)=
⃗
PC ⋅(
⃗
PA −
⃗
PB)
；
③
¿
⃗
PA∨¿∨
⃗
PB∨¿∨
⃗
PC∨¿
；④
⃗
PA ⋅
⃗
PB=
⃗
PB ⋅
⃗
PC=
⃗
PC ⋅
⃗
PA
如果只有一个等式不成立，则该等式为
A．① B．② C．③ D．④
8．对于给定的正整数
n
，设集合
Xn={1,2,3 ,⋯,n }
，
A⊆Xn
，且
A ≠
∅．记
I(A)
为集合
A
中的最
大元素，当
A
取遍
Xn
的所有非空子集时，对应的所有
I(A)
的和记为
S(n)
，则
S(2023)=¿
A．
2023 ×22023 +1
B．
2023 ×22022+1
C．
2022 ×22022+1
D．
2022 ×22023+1
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．设非零向量
a，b
的夹角为
θ，c
为任意非零向量，定义运算
a∗b=¿a∨¿b∨sin θ
，则下列结
论正确的是
A．若
a∗b=0
，则
a/¿b
B．
a∗(b+c)=a∗b+a∗c
C．
2(a∗b)(a⋅b)¿a2b2sin 2θ
D．若
¿a∨¿∨b∨¿1
，则
a∗b
的最大值为 1
10．已知复数
z1，z2
满足
¿z1∨⋅∨z2∨≠0
，则下列结论正确的是
A．若
¿z1∨¿∨z2∨¿
，则
z1=± z2
B．
¿z1+z2∨≤∨z1∨+¿z2∨¿
C．若
¿z1∨¿∨z2∨¿
，则
z1
2¿z2
2
D．
¿z1z2∨¿∨z1∨⋅∨z2∨¿
11．如图放置的边长为 1的正方形
ABCD
的顶点
A
，
D
分别在
x
轴的正半轴、
y
轴的非负半轴上滑动，则
⃗
OB ⋅
⃗
OC
的值可能是
A．
1
B．
−1
C．
2
D．
−2
12．已知函数
f(x)
及其导函数
f ' (x)
的定义域均为 R．若对任意的
x，y∈R
，都有
f(x+y)+f(x − y)=2f(x)⋅f(y)
，则下列结论正确的是
A．
f(0)=1
B．
f(x)+f(0)≥0
C．若
f(1)=1
2
，则
∑
n=1
2023
f(n)=1
2
D．
f ' (x)
必为奇函数
*
*
2
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．已知
2z −1
1+z=i
，则
z
的虚部是_______．
14．若函数
f(x)=asin x+¿cos x¿
的图象关于直线
x=π
6
对称，则实数
a=¿
_______．
15．在
ΔABC
中，
¿
⃗
AB∨¿∨
⃗
AC∨¿∨
⃗
AB −
⃗
AC∨¿
，
P
是线段
BC
上的动点，有下列三个结论：
①
2∨
⃗
AP∨≥
√
3∨
⃗
AB∨¿
；②
⃗
AB ·
⃗
AC ≥
⃗
AP ·
⃗
AC
；③
⃗
AB ·
⃗
AP≥
⃗
AC ·
⃗
AP
．
则所有正确结论的序号是__________．
16．已知向量
a，b，c
满足
¿a∨¿1，b=−2a，∨c −b∨¿2∨c − a∨¿
，则向量
c −b
与
a
的夹角
的最大 值是_______．
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
设复数
z1¿1−i，z2=cos θ+isin θ
，其中
θ∈[0, π ]
．
(1)若复数
z=z1· z2
为实数，求
θ
的值；
(2)求
¿z1+z2∨¿
的取值范围．
18．（12 分）
记
ΔABC
的内角
A，B，C
的对边分别是
a，b，c
，已知
ΔABC
的外接圆半径
R=
√
2
，
且
tan B+¿tanC=¿
√
2sin A
cos C⋅¿¿
(1)求
B
和
b
的值；
(2)求
ΔABC
面积的最大值．
19．（12 分）
如图，在平行四边形
ABCD
中，
AB=2，AD=3，∠BAD=π
3
，
E
为
CD
的中点，
⃗
AF=λ
⃗
AD (0≤ λ ≤1).
(1)若
⃗
AE ⊥
⃗
BF
，求实数
λ
的值；
(2)求
⃗
BF ⋅
⃗
FE
的取值范围．
*
*
3
摘要：

河北省衡水中学2023届上学期高三年级四调考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知z=i(3−i)2+i，则z在复平面内对应的点位于A．实轴上B．虚轴上C．第一、三象限的角平分线上D．第二、四象限的角平分线上2．已知向量a，b满足¿a∨¿2，b=(1，1)，∨a+b∨¿√10，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为A．(√22,√22)B．(1,1)C．(−1,−1)D．(−√22,√22)3．在RtΔA...

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