数学（广东卷01）（全解全析）

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2024 年高考数学第一次模拟考试
数学（广东卷 01）全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1．若集合 ， ，则 （）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出集合 ，再根据交集的定义求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：A.
2．已知 为虚数单位，且 ，则 （）
A．B．C．D．
 
2x
M y y 
 
1 2N x y x  
M N 
1
0, 2
 
 
1
0, 2
 
 
 
 
0,
0,
,M N
 
 
2 0
x
M y y y y   
 
1
1 2 2
N x y x x x
 
 
 
 
1
0, 2
M N  
i
3
2i
1 i
z
z
1 i
1 i 
1 i
1 i 
【答案】B
【分析】按复数的除法进行运算即可.
【详解】由题意： .
故选：B.
3．已知 ， 是单位向量，若 ，则 在 上的投影向量为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知可推得 ，进而即可求出投影向量.
【详解】根据已知可得 ，
所以， .
所以， 在 上的投影向量为 .
故选：D.
4．已知 ， ，则 （）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用正切的倍角公式，求得 ，再结合诱导公式、三角函数的基本关
系式和两角差的正切公式，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，
 
2
2i 1 i
2i i 1 i
1 i 2
z i
 
a
b
 
3a a b
 
a
b
1
3a
1
3a
1
3b
1
3b
1
3
a b  
1
3
a b  
a
b
1
3
a b b b
b b
 
 
 
π, π
2
 
 
 
4
tan 2 3
3
cos π
4
π
sin 4
 
 
 
 
 
1
3
3
3
1
3
tan 2
 
4
tan 2 3
2
2 tan 4
1 tan 3
1
tan 2
tan 2
=-
π, π
2
 
 
 
tan 2
 
所以
.
故选：A．
5．三位同学参加某项体育测试，每人要从 跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个
项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出三个同学选择两个项目的试验的基本事件数，再求出有且仅有两人选择的项目完全相
同的事件含有的基本事件数，即可列式作答.
【详解】三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有 个，它们等可能，
有且仅有两人选择的项目完全相同的事件 含有的基本事件数有 个，
所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率 .
故选：C
6．为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开
展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例 关于还款人的年收入 （单位：万元）
的 模型： ．已知当贷款人的年收入为 9万元时，其实际还款比例为 50%．
若银行希望实际还款比例为 40%，则贷款人的年收入约为（）（参考数据： ，
）
A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元
【答案】D
【分析】根据题意将 代入 模型中求出 的值，再将 代入可求得答案
3 π π
cos π cos π cos
4 4 4
π π π
sin sin sin
4 4 4
 
  
 
 
 
 
 
     
  
     
     
1
π
tan 4
   
 
 
1 tan 1
tan 1 3
   
100m
1
12
1
3
5
12
7
12
2 3
4
(C )
A
2 2 2
3 4 4
C C (C 1)
2 2 2
3 4 4
2 3
4
C C (C 1) 5
( ) (C ) 12
P A
 
P
x
Logistic
 
0.9
0.9
e
1 e
kx
kx
P x
 
 
ln 3 1.1
ln 2 0.7
4
8
6
5
9, 50%x P 
Logistic
k
40%P
【详解】由题意得当 时， ，则 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
当 时， ，得 ，
所以 ，所以 ，
解得 ，
所以当银行希望实际还款比例为 40%，则贷款人的年收入约为 5万元，
故选：D
7．设 ， ， ，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数利用导数研究其单调性比大小即可.
【详解】令 ， ，
∴ ，
∴ 在 上单调递增， ，∴ ；
令 ， ， ，
设 ， ，则 ，即 单调递减，
∴
∴ ，即 在 单调递减，故 ，
∴ ，∴ .
9x
50%P
0.9 9
0.9 9
e50%
1 e
k
k
 
 
0.9 9
e 1
k 
9 0.9 0k  0.1k
 
0.9 0.1
0.9 0.1
e
1 e
x
x
P x
 
 
40%P
0.9 0.1
0.9 0.1
e40%
1 e
x
x
 
 
0.9 0.1
3e 2
x 
0.9 0.1
2
e3
x 
2
0.9 0.1 ln ln 2 ln 3 0.7 1.1
3
x 
5x
1.2 1a 
ln1.1b
0.1
1
10e
c
a b c 
a c b 
b a c 
c a b 
 
1 2 1 ln 1f x x x   0 0.5x 
   
2
2 1 1 1 2 1 2 1 0
1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
x x x
f x x x
x x x x
 
   
 
 
 
f x
 
0, 0.5
 
0.1 0 0f f 
a b
 
ln 1
e
x
x
g x x 
0 0.5x 
   
2
1 1 1 e
e 1 1 e
x
x x
x x
g x x x
 
  
 
 
2
1 e
x
h x x 
0 0.5x 
 
2 e 0
x
h x x
 
 
h x
 
0 0h x h 
 
0g x
 
g x
 
0,0.5
 
0.1 0 0g g 
c b
a b c 
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是观察各式子的形式，构造函数 与
，从而利用导数即可得解.
8．设抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点．设线段
的中点为 ，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ．已知 的面积为 2，则直线 的斜
率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用抛物线的图象与性质、直线方程、一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式运
算即可得解.
【详解】解：

如上图，由题意，抛物线 的准线为 ，可得 ．
∵直线 与抛物线交于 ， 两点，∴直线 的斜率存在且不为 ，
∴设直线 方程为 ，
将其代入 ，化简并整理得： ．
由 ，得 ．
设 ， ，则 ， ，
 
1 2 1 ln 1f x x x  
 
ln 1
e
x
x
g x x 
2
4y x
x
K K lA
B
AB
M M
x
N
NAB△
l
2
2
1
2
2
2
2
4y x
= 1x
( 1,0)K
lA
B
l
0
l
1( 0)x ty t 
2
4y x
24 4 0y ty  
2
( 4 ) 16 0t 
2
1t
 
1 1
,A x y
 
2 2
,B x y
1 2
4y y t 
1 2
4y y =
摘要：

2024年高考数学第一次模拟考试数学（广东卷01）全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求...

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