山东省青岛第二中学2022-2023学年高三上学期1月期末数学试题

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2022-2023 第一学期期末测试

高三数学

一、选择题；本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．已知集合 A＝，B＝，则 A∩B 等于(　　)

A．[1,3] B．[1,5] C．[3,5] D．[1，＋∞)

2．若复数 z满足：，则的共轭复数的虚部为（）

A．-2 B．i C．0 D．2

3．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第

每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996

斤棉花，分别赠送给 8个子女做旅费，从第 1个孩子开始，以后每人依次多 17 斤，直

到第 8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得

外人说闲话．”在这个问题中，第 8个孩子分到的棉花为（）

A．184 斤B．176 斤C．65 斤D．60 斤

4．已知随机变量服从正态分布，且，则

（）

A．0.5 B．0.625 C．0.75 D．0.875

5．已知，则（）

A．B．C．D．

6．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且点 P到两个焦点的距

离之差为 1，则的面积为（）

A．2 B．3 C．D．

7．已知函数在区间上单调递增，

且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

8．定义在上的函数满足，且当时， .

若对，都有，则的取值范围是（）

A．B．

C．D．

二、选择题；本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求．全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分．

9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点 A，B的距离之比为定值

λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系 xOy 中，

A（－2，0），B（4，0），点 P满足＝ .设点 P的轨迹为 C，则下列结论正确的

是（　　）

A．轨迹 C的方程为（x＋4）2＋y2＝9

B．在 x轴上存在异于 A，B的两点 D，E使得＝

C．当 A，B，P三点不共线时，射线 PO 是∠APB 的平分线

D．在 C上存在点 M，使得

10．已知函数，若在上的值域是，则实数的可

能取值为（）

A．B．C．D．

11．对于伯努利数，有定义： .则（）

A．B．

C．D．

12．已知函数（为正整数，）的最小正周期，

将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数

的说法正确的是（）

A．是函数的一个零点 B．函数的图象关于直线对

称

C．方程在上有三个解 D．函数在上单调递减

三、填空题；本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分

13．一个布袋中，有大小、质地相同的 4个小球，其中 2个是红球，2个是白球，若从

中随机抽取 2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是______.

14．已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为的直线交于，

两点，过，分别作的切线、，与交于点，，与轴的交点分别为

，，则四边形的面积为______________．

15．已知函数，则的最小值为____.

16．已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为，

则的取值范围为__________．

四、解答题；本题共 6个小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个

问题回答正确各得分，回答不正确得分，第三个问题回答正确得分，回答不正

确得分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正

确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问

题的总分不低于分就算闯关成功．

（）求至少回答对一个问题的概率．

（）求这位挑战者回答这三个问题的总得分的分布列．

（）求这位挑战者闯关成功的概率．

18．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去如

阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D四个

点重合于图中的点 P，正好形成一个长方体形状的包装盒，E，F是AB 边上被切去的

等腰直角三角形斜边的两个端点，设 cm.

(1)求包装盒的容积关于 x的函数表达式，并求出函数的定义域.

(2)当x为多少时，包装盒的容积V（）最大？最大容积是多少？

19．已知函数

(1)函数为的导函数，讨论当时的单调性；

(2)当时，证明：存在唯一的极大值点.

20．已知数列中，，，，

（1）求的通项公式；

（2）设，求．

21．已知直线方程为，其中 .

(1)当变化时，求点到直线的距离的最大值及此时的直线方程；

(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求面积的最小值及此时的

直线方程.

22．已知函数．

(1)求的极值；

(2)若，且，证明：．

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摘要：

2022-2023第一学期期末测试高三数学一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝，B＝，则A∩B等于(　　)A．[1,3]B．[1,5]C．[3,5]D．[1，＋∞)2．若复数z满足：，则的共轭复数的虚部为（）A．-2B．iC．0D．23．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父...

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