数学-2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）03（全解全析）

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2024 届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）03
数学·全解全析
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知 ，
，
，$$ .故选：C.
2．已知复数 是关于
x
的方程 的一个解，则复数 在复平面内对应的点
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为复数 是关于
x
的方程 的一个解，则方程的另一解为 ，
由韦达定理可得 ，解得 ，
所以复数 在复平面内对应的点为 在第四象限.故选：D
3．在 中，点 为 中点，点 在 上且 .记 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：由 ，所以 ，
又 ， ，
又因为 为 中点， ，
则 ，故选：B.
4．保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力
和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量 （单位：毫米/
升）与过滤时间 （单位：小时）之间的函数关系为 ，其中 为常数， 为原污染物
数量．该工厂某次过滤废气时，若前 9 个小时废气中的污染物恰好被过滤掉 80%，那么再继续过滤 3 小时，
废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）参考数据： ．
A． B． C． D．
【答案】A
1
| , 1 0
2
x
A y y x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
| ln 2B x y x  
 
A B
R
ð
 
1, 2
 
1, 2
1, 
 
1, 
1
| , 1 0
2
x
A y y x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1, 2
 
 
| ln 2B x y x  
 
, 2 
2,B  
R
ð
 
1,
R
A B
 ð
2 i
2
0( , )x ax b a b R
iz a b 
2 i
2
0x ax b  
2 i
 
  
1 2
1 2
2 i 2 i
2 i 2 i
x x a
x x b
 
 
4
5
a
b
 
iz a b 
 
4, 5
ABC
D
AC
E
BC
2BE EC
,AB a AC b 
                           
ED

1 1
3 6
a b 
 
1 1
3 6
a b 
 
1 1
6 3
a b 
 
1 1
3 6
a b
 
,AB a AC b 
BC AC AB b a  
                                       
2BE EC
D
AC
1
2
CD b  
1 1
3 6
ED EC CD a b  
 
P
t
 
0
e 0
kt
P P t
 
k
0
0,k P
1
3
10.585
5
 
 
12%
10%
9%
14%
【解析】因为前 9 个小时废气中的污染物恰好被过滤掉 ，
所以 ，即 所以 ．
再继续过滤 3 小时，
废气中污染物的残留量约为 ．故选：A.
5．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷 3 次，则出现三个点数之和为 6 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，随机掷一枚均匀的正方体骰子，每次实验掷三次，
共有 种不同的结果，
其中每次实验掷三次骰子的点数之和为 6 的基本事件包括数字 1、2、3 组成的结果有 种，
数字 1、1、4 组成的结果有 种，数字 2、2、2 组成的结果有 种.
故所求概率为 .故选：B.
6．若 ，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由 ，
可得 ，
又由正弦的倍角公式，可得 ，
即 ，
令 ，则 ，解得 ，
所以 .故选：C.
7．已知正四棱台的高为 ，下底面边长为 ，侧棱与底面所成的角为 ，其顶点都在同一球面上，则
该球的体积为（$$$）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为 ，连接 ，
过 作 的垂线垂足为 ，过 作 的垂线垂足为 ，
因为正四棱台的高为 ，下底面边长为 ，
侧棱与底面所成的角为 ，
可得 ，即 ，
80%
9
0 0
1
e5
k
P P
 
9
1
e ,
5
k
1
3
31
e5
k 
 
 
 
4
3
4
12 3
0 0 0 0 0
1 1
e e 0.585 12%
5 5
k k
P P P P P
 
 
 
 
 
1
12
5
108
1
72
1
216
6 6 6 216 
3
3
A
1
3
A
1
3 1
3 3
A A 1 5
216 108
P 
 
tan tan tan tan 1
2 2
 
 
  cos cos
 
 
1
2
3
2
tan tan tan tan 1
2 2
 
 
 
sin sin sin sin cos cos cos cos
2 2 2 2
 
 
2 2
4sin cos sin cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
 
 
2 2 2 2
4sin sin cos cos (1 2sin )(1 2sin )
2 2 2 2
 
 
 
2 2
sin , sin
2 2
x y
 
 
4 (1 2 )(1 2 ) 1 2 2 4xy x y x y xy  
1
2
x y 
2 2
cos cos 1 2sin 1 2sin 2 2( ) 1
2 2 x y
 
 
 
1
2 2
45
20 5π
3
32π
3
8 6π
36π
1 2
,r r
AC
1
A
AC
E
1
CAC
F
1
2 2
45
1 1
, 2AE CF EF A C   1 2
1, 2r r 
设球心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ，
可得 ， ，故 或 ，
即 或 ，
解得 ，符合题意，
所以球的体积为 ．故选：A.
8．设 ， ， ，则
a
，
b
，
c
的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ， ，则 ，
， ， ，故 ， 在 上单调递增，
故 ，当 时， 恒成立，
令 ，则 ，即 ；
设 ， ，则 ，
又 ，
故 在 上单调递减， ，
故 ，则函数 在 上单调递增，即 ，
故当 时， 恒成立，
令 ，则 ，即 ，
综上所述： .故选：D
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．下列说法中正确的是（ ）
A．某射击运动员在一次训练中 10 次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组
数据的第 70 百分位数为 8
B．若随机变量 ，且 ，则
C．若随机变量 ，且 ，则
D．对一组样本数据 进行分析，由此得到的线性回归方程为： ，至少
有一个数据点在回归直线上
1 2
,d d
R
2
1
1d R 
2
2
4d R 
1 2
| | 1d d 
1 2
1d d 
2 2
| 1 4 | 1R R 
2 2
1 4 1R R 
25R
3
4 20 5
π π
3 3
V R 
1
6 15
a
3 1
sin
4 60
b
61
ln 60
c
ca b 
c b a 
a b c 
b<c<a
( ) ln( 1) si
3n
4
f x x x  
1
03
x 
1 3
( ) cos
1 4
f x x
x
 
1
03
x 
3 1 1
4 1 x
 
3 3
cos
4 4
x
( ) 0f x 
( )f x
1
0, 3
 
 
 
( ) (0) 0f x f 
1
03
x 
3
ln( 1) sin
4
x x 
1 1
0,
60 3
x 
  
 
61 3 1
ln sin
60 4 60
c b
( ) ln( 1)
3
x
g x x 
1
040
x  1 1 6 1
( ) 1
6 6 ( 1)
x x
g x x
x x x
 
 
2 2
6 1 ( ) 6 1 ( 3) 8x x x x x    
6 1x x 
1
0, 40
x 
 
 
 
1 3
6 1 1 0
40 10
x x    
( ) 0g x 
( )g x
1
0, 40
 
 
 
( ) (0) 0g x g 
1
040
x  ln( 1)
3
xx 
1 1
0,
60 40
x 
  
 
1 1 1 61
ln
3 60 60
6 15  
a c
b<c<a
 
100,X B p
 
20E X
 
16D X
 
2
,X N
 
( 4) ( 2)P X P X p  
 
1
2 1 2
P X p 
 
1 1 2 2
, , , , , ,
n n
x y x y x yˆ
ˆ ˆ
y bx a 
摘要：

2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）03数学·全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，，，  .故选：C.2．已知复数是关于x的方程的一个解，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为复数是关于x的方程的一个解，则方程的另一解为，由韦达定理可得，解得，所以复数在复平面内对应的点为在第四象限.故选：D3．在中，点为中点，点在上且.记，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示：由，所以...

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