培优冲刺03 四边形压轴题综合（原卷版）

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培优冲刺 03 四边形压轴题综合

1、四边形与翻折的综合

2、四边形与旋转的综合

3、四边形与新定义的综合

4、四边形与中点的综合

题型一：四边形与翻折的综合

有翻折必有全等，并且是轴对称类型的全等，所以，当四边形压轴题出现翻折或折叠时，一般都

是从轴对称类的全等入手思考！

【中考真题练】

1．（2023•西宁）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数

学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．

【操作】如图 1，在矩形 ABCD 中，点 M在边 AD 上，将矩形纸片 ABCD 沿MC 所在的直线折叠，使点

D落在点 D′处，MD′与BC 交于点 N．

【猜想】MN＝CN．

【验证】请将下列证明过程补充完整：

∵矩形纸片 ABCD 沿MC 所在的直线折叠，

∴∠CMD＝　　，

∵四边形 ABCD 是矩形，

∴AD∥BC （矩形的对边平行），

∴∠CMD＝　　（　　），

∴　　＝　　（等量代换），

∴MN＝CN（　　）．

【应用】

如图 2，继续将矩形纸片 ABCD 折叠，使 AM 恰好落在直线 MD′上，点 A落在点 A′处，点 B落在点 B′处，

折痕为 ME．

（1）猜想 MN 与EC 的数量关系，并说明理由；

（2）若 CD＝2，MD＝4，求 EC 的长．

2．（2023•衢州）如图 1，点 O为矩形 ABCD 的对称中心，AB＝4，AD＝8，点 E为AD 边上一点（0＜AE

＜3），连结 EO 并延长，交 BC 于点 F．四边形 ABFE 与A′B′FE 关于 EF 所在直线成轴对称，线段 B′F

交AD 边于点 G．

（1）求证：GE＝GF．

（2）当 AE＝2DG 时，求 AE 的长．

（3）令 AE＝a，DG＝b．

①求证：（4﹣a）（4﹣b）＝4．

②如图 2，连结 OB′，OD，分别交 AD，B′F于点 H，K．记四边形 OKGH 的面积为 S1，△DGK 的面积

为S2，当 a＝1时，求的值．

3．（2023•烟台）【问题背景】

如图 1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形 ABCD 进行如下操作：①分别以

点B，C为圆心，以大于 BC 的长度为半径作弧，两弧相交于点 E，F，作直线 EF 交BC 于点 O，连接

AO；②将△ABO 沿AO 翻折，点 B的对应点落在点 P处，作射线 AP 交CD 于点 Q．

【问题提出】

在矩形 ABCD 中，AD＝5，AB＝3，求线段 CQ 的长；

【问题解决】

经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：

方案一：连接 OQ，如图 2．经过推理、计算可求出线段 CQ 的长；

方案二：将△ABO 绕点 O旋转 180°至△RCO 处，如图 3．经过推理、计算可求出线段 CQ 的长．请你任

选其中一种方案求线段 CQ 的长．

【中考模拟练】

1．（2024•天山区校级一模）如图，正方形 ABCD 边长为 1，点 E在边 AB 上（不与 A，B重合），将

△ADE 沿直线 DE 折叠，点 A落在点 A1处，连接 A1B，将 A1B绕点 B顺时针旋转 90°得到 A2B，连接

A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：

①△ABA1≌△CBA2；

②∠ADE+∠A1CB＝45°；

③点P是直线 DE 上动点，则 CP+A1P的最小值为；

④当∠ADE＝30°时，△A1BE 的面积为．

其中正确的结论个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2024•曲阜市一模）如图 1，菱形纸片 ABCD 的边长为 2，∠ABC＝60°，如图 2，翻折

∠ABC，∠ADC，使两个角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P，EF，GH 分别是折痕．设 AE＝x（0＜x＜

2），给出下列判断：

①当x＝1时，DP 的长为；

②EF+GH 的值随 x的变化而变化；

③六边形 AEFCHG 面积的最大值是；

④六边形 AEFCHG 周长的值不变．

其中正确的是（　　）

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摘要：

培优冲刺03四边形压轴题综合1、四边形与翻折的综合2、四边形与旋转的综合3、四边形与新定义的综合4、四边形与中点的综合题型一：四边形与翻折的综合有翻折必有全等，并且是轴对称类型的全等，所以，当四边形压轴题出现翻折或折叠时，一般都是从轴对称类的全等入手思考！【中考真题练】1．（2023•西宁）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D′处，MD′与BC交于点N．【猜想】MN＝CN．【验证】请将下列证明过程...

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