专题3-3 二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题（原卷版）

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专题 3-3 二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题
01
题型·解读
【题型 1】作铅垂高解决面积定值问题
例 1－1 湖北武汉市·中考真题
2023·齐齐哈尔·中考真题（删减）
南通·中考真题
2023·山东泰安·中考真题
【题型 2】作平行线解决面积问题
例 2－1 山东省临沂市·中考真题
2023·四川甘孜·中考真题
四川凉山州·中考真题
连云港·中考真题
2023·黑龙江·中考真题
江苏徐州·中考真题
【题型 3】面积比例问题的转化定值问题或函数表达式
例 3－1 内蒙古通辽市·中考真题
2023·辽宁盘锦·中考真题
2022·福建·统考模拟预测
【题型 4】面积比例问题的转化为线段比
例 4－1
深圳市中考真题
牡丹江中考真题
2022·四川内江中考真题
2023·四川泸州中考真题
2022·四川内江中考真题
【题型 5】 米勒角（最大张角问题）
例题 5-1
山东烟台中考真题
2023·四川宜宾中考真题
满分·技巧
02
一、面积定值与等值问题
1 .定值问题
【问题描述】
如图，抛物线 与 x轴交于 A、B两点（点 A在点 B左侧），与 y轴交于点 C，连接
BC，抛物线在线段 BC 上方部分取一点 P，连接 PB、PC，若△PBC 面积为 3，求点 P坐标．
P
O
A
B
x
y
思路 1：铅垂法列方程解．
根据 B、C两点坐标得直线 BC 解析式：y=-x+3，设点 P坐标为 ，
过点 P作PQ⊥x轴交 BC 于点 Q，则点 Q坐标为（m，-m+3），
， ，分类讨论去绝对值解方
程即可得 m的值．
思路 2：构造等积变形
2
2 3y x x 
 
2
, 2 3m m m 
 
 
2 2
2 3 3 3PQ m m m m m    
2
13 3 3
2
PBC
S m m  
P
Q
A
B
C
Q
2
Q
1
P
4
P
3
P
2
y
x
B
A
O
P
1
同底等高三角形面积相等．
取BC 作水平宽可知水平宽为 3，根据△PBC 面积为 3，可知铅垂高为 2，
在y轴上取点 Q使得 CQ=2，过点 Q作BC 的平行线，交点即为满足条件的 P点．
当点 Q坐标为（0,5）时，PQ 解析式为：y=-x+5，联立方程： ，解之即可．
当点 Q坐标为（0,1）时，PQ 解析式为：y=-x+1，联立方程： ，解之即可．
2 . 等值问题
【问题描述】
如图，抛物线 与 x轴交于 A、B两点（点 A在点 B左侧），与 y轴交于点 C，连接
BC，抛物线上存在一点 P使得△PBC 的面积等于△BOC 的面积，求点 P坐标．
P
O
A
B
x
y
思路 1：铅垂法
计算出△BOC 面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解．
思路 2：构造等积变形
过点 O作BC 的平行线，与抛物线交点即为所求 P点，
2
2 3 5x x x  
2
2 3 1x x x  
2
2 3y x x 
另外作点 O关于点 C的对称点 M，过点 M作BC 平行线与抛物线的交点亦为所求 P点．
先求直线解析式，再联立方程即可求得 P点坐标．
y
x
B
A
O
P
二、面积比例问题
1、方法突破
除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析 ，
往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．
大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化．
策略一：运用比例计算类
策略二：转化面积比
如图，B、D、C三点共线，考虑△ABD 和△ACD 面积之比．
D
C
B
A
转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则 ．
H
A
B
C
D
: :
ABD ACD
S S BD CD
 
更一般地，对于共边的两三角形△ABD 和△ACD ，连接 BC ， 与 AD 交于点 E， 则
．
M
N
E
D
C
B
A
策略三：进阶版转化
在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常
见有：“A”字型线段比、“8”字型线段比．
“A”字型线段比： ．
“8”字型线段比： ．
M
D
C
B
A
M
D
B
A
转化为垂线：共底，面积之比化为高之比： ．
: : :
ABD ACD
S S BM CN BE CE 
 
: : :
ABD ACD
S S BD CD BA AM 
 
: : :
ABD ACD
S S BD CD AB CM 
 
: : :
ABD ACD
S S BD CD BM CN 
 
摘要：

专题3-3二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题01题型·解读【题型1】作铅垂高解决面积定值问题例1－1湖北武汉市·中考真题2023·齐齐哈尔·中考真题（删减）南通·中考真题2023·山东泰安·中考真题【题型2】作平行线解决面积问题例2－1山东省临沂市·中考真题2023·四川甘孜·中考真题四川凉山州·中考真题连云港·中考真题2023·黑龙江·中考真题江苏徐州·中考真题【题型3】面积比例问题的转化定值问题或函数表达式例3－1内蒙古通辽市·中考真题2023·辽宁盘锦·中考真题2022·福建·统考模拟预测【题型4】面积比例问题的转化为线段比例4－1深圳市中考真题牡丹江中考真题2022·四川内江中考...

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