专题3-6 圆的综合（27类题型）（原卷版）
2025-05-16
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专题 3-6 圆的综合（27 类题型）
圆的综合问题常用的规律方法
模块一 圆中常见辅助线
【题型 1】遇到弦时
【题型 2】遇到有直径时
【题型 3】遇到有切线时
【题型 4】遇到两相交切线时
【题型 5】遇到三角形的内切圆时
【题型 6】遇到三角形的外接圆时
模块二 切线证明
类型 1 有公共点：连半径，证垂直
【题型 7】 特殊角计算证垂直
【题型 8】 勾股定理逆定理证垂直
【题型 9】 通过平行线代换证垂直
【题型 10】利用等角代换法证明垂直
【题型 11】利用三角形全等证明垂直
类型 2 无公共点：作垂直，证半径
【题型 12】角平分线的性质证半径
【题型 13】特殊角计算证垂直
模块三 圆中求线段长度
【题型 14】结合勾股定理求线段长
【题型 15】结合三角函数求线段长
【题型 16】结合相似求线段长
【题型 17】利用旋转变换求线段长
模块四 以圆为背景的阴影部分面积问题
【题型 18】和差法（割补）
【题型 19】拼接法（等积变形）
模块五 其它类型
【题型 20】与圆锥的相关计算
【题型 21】圆内接四边形
【题型 22】圆与相似综合 1：等积式相关证明
【题型 23】圆与相似综合 2：线段积问题
【题型 24】圆中线段间的数量关系（和差倍分）
【题型 25】选填压轴以圆为背景的多结论判断问题
【题型 26】求圆周角的三角函数值
【题型 27】圆中的翻折
圆的综合问题常用的规律方法：
技法 01：第一问常考考点——切线，对应规律
①切线的判定：常用方法
有切点，连半径，证垂直！
无切点，作垂直，证半径！
☆特别地：题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”
②切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！
因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题
技法 02：考题常见结合考点
①知2得1：
②三角形相似：
③三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似；
特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△
④特殊角及其转化：
技法 03：常见辅助线
①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径
②作弦心距——构造 Rt△，进而用知 2得3
——或做两条弦心距，构造矩形或正方形
③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在 Rt△中展开问题
技法 04：圆中等积式证明（三角形相似）
圆中的等积式证明主要有下面几种形式：
（1）
（2）
（3）
（4） （证 a为定值）
问关联“切线”常用于第得知
等腰△
平行线
角平分线
112
进而求长度
例常因相似得对应边成比
结合的可能性最大
母子△相似
字相似字、
△相似
8A
Rt
亦可得）型等腰△（圆心角为：推
亦可得）△（圆心角为推等腰
亦可得）推等边△（圆心角为
的等腰△、、推
当圆周角为
12031:160
9045
6030
75753015
Rt
· ·BE EF DE AE＝
2·CF CG CE＝
2
· ·CE k DE BO＝
·MN MC a＝
其 中 第 （ 1） （ 2） 的 形 式 属 最 简 单 的 形 式 ， 只 需 要 将 线 段 乘 积 写 成 比 例 的 形 式 （
）然后找到对应的两个三角形相似即可，稍复杂的题目还会有将等积式中
的线段替换为其他相等的线段情况；
第（3）种形式和第（2）种类似，建议先写成线段比例的形式，然后再考虑数字的归属问题 ，将系
数分配给某一线段；
第(4)种情况难度最大，题目中只给两条线段，另外两条需要自己找，建议写成 的形式，
括号内的一般填入的是题中可求值的线段，再根据题中条件具体分析即可。
【圆中的相似模型】
(1)圆周角定理推论(直径所对圆周角为 90°;同弧所对圆周角相等)
(2)圆的内接四边形对角互补(通常是圆内外两个三角形相似)
(3)已知线段比例关系,利用公共角及两边对应成比例证相似
技法 05：求阴影部分面积
求阴影部分面积主要有 2种形式：①割补法，②等级变形（拼接）
,
BE AE CF CE
DE EF CG CF
MC
MN （）
（）=
模块一 圆中常见辅助线
【题型 1】遇到弦时
处理方式：常添加弦心距
1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，如
图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物，轮乃曲成”．如图 2，已知圆心 O在水面
上方，且
⊙O
被水面截得弦
AB
长为 8米，若点 C为运行轨道的最低点，点 C到弦
AB
所在直
线的距离是 2，则
⊙O
的半径长为 米．
2．如图，
⊙O
的半径为
10
√
2
，弦
AB
的长为
16
√
2
，P是弦
AB
上一动点，则线段
OP
长的最小值为
（ ）
A．10 B．
8
√
2
C．5 D．
6
√
2
3．（2022·安徽中考）已知⊙O的半径为 7，AB 是⊙O的弦，点 P在弦 AB 上．若 PA＝4，PB＝6，
则OP＝（ ）
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专题3-6圆的综合（27类题型）圆的综合问题常用的规律方法模块一圆中常见辅助线【题型1】遇到弦时【题型2】遇到有直径时【题型3】遇到有切线时【题型4】遇到两相交切线时【题型5】遇到三角形的内切圆时【题型6】遇到三角形的外接圆时模块二切线证明类型1有公共点：连半径，证垂直【题型7】特殊角计算证垂直【题型8】勾股定理逆定理证垂直【题型9】通过平行线代换证垂直【题型10】利用等角代换法证明垂直【题型11】利用三角形全等证明垂直类型2无公共点：作垂直，证半径【题型12】角平分线的性质证半径【题型13】特殊角计算证垂直模块三圆中求线段长度【题型14】结合勾股定理求线段长【题型15】结合三角函数求线段长【...
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