专题2-1 将军饮马等8类常见最值问题（原卷版）

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专题 2-1 将军饮马等 8类常见最值问题
题型一 两定一动型（线段和差最值问题）
题型二 双动点最值问题（两次对称）
题型三 动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）
题型四 垂线段最短
题型五 相对运动平移型将军饮马
题型六 通过瓜豆得出轨迹后将军饮马
题型七 化斜为直，斜大于直
题型八 构造二次函数模型求最值
一、单动点问题
【问题 1】在直线 l上求一点 P，使 PA＋PB 最小
问题解决：连接 AB，与l交点即为 P
，
两点之间线段最短 PA＋PB 最小值为 AB
l
A
B
l
P
A
B
【问题 2】在直线 l上求一点 P，使 PA＋PB 最小
问题解决：作 B关于 l的对称点 B'⇒PB＝PB'，则 PA＋PB＝PA＋PB'，当 A，P，B'共线时取最小，
原理：两点之间线段最短，即 PA＋PB 最小值为 AB'
B
A
P
l
B'
B
A
P
【问题 3】在直线 l上求一点 P，使|PA－PB|最大
问题解决：连接 AB，当 A，B，P共线时取最大
原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB'
l
B
A
P
l
B
A
P
【问题 4】在直线 l上求一点 P，使|PA－PB|最大
问题解决：作 B关于直线 l的对称点 B'⇒PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|
原理：三角形两边之和大于第三边，连接 AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB'
l
B
A
P
l
B'
B
A
P
二、双动点问题（作两次对称）
【问题 5】在直线
，
上分别求点 M，N，使△PMN 周长最小
问题解决：分别作点 P关于两直线的对称点 P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，
原理：两点之间线段最短，P'，P''，与两直线交点即为 M，N，则 AM＋MN＋PN 的最小值为线段
P'P''的长
l
1
l
2
P
N
M
l
1
l
2
P''
P'
P
N
M
【问题 6】P，Q为定点，在直线
，
上分别求点 M，N，使四边形 PQMN 周长最小
问题解决：分别作点 P，Q关于直线 ， 的对称点 P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N
原理：两点之间线段最短，连接 P'Q'，与两直线交点即为 M，N，则 PM＋MN＋QN 的最小值为线
段P'Q'的长，周长最小值为 P'Q'＋PQ
l
1
l
2
P
Q
N
M
l
1
l
2
Q'
P'
P
Q
N
M
【问题 7】A，B分别为
，
上的定点，M，N分别为
，
上的动点，求 最小值
问题解决：分别作 ， 关于 ， 的对称点 ， ，则 ， ， 即所求
原理：两点之间距离最短，A'，N，M，B'共线时取最小，则 AN＋MN＋BM ＝A'N＋MN＋
B'M≤A'B'
l
2
l
1
N
M
A
B
l
2
l
1
A'
B'
N
M
A
B
三、动线段问题（造桥选址）
【问题 8】直线 m∥n，在 m，n上分别求点 M，N，使 MN⊥m，且 AM＋MN＋BN 的最小值
问题解决：将点 B向上平移 MN 的长度单位得 B'，连接 B'M，当 AB'M共线时有最小值
原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN
n
m
N
A
B
M
n
m
B'
N
A
B
M
【问题 9】在直线 l上求两点 M，N(M在左）且 MN＝a，求 的最小值
问题解决：将 B点向左移动 a个单位长度，再作 B'关于直线 l的对称点 B''，当 共线有最小
值
原理：通过平移构造平行四边 ，
l
N
B
A
M
l
B''
B'
N
B
A
M
四、垂线段最短
【问题 10】在直线 ， 上分别求点 A，B，使 PB＋AB 最小
问题解决：作 关于 的对称点 ，作 于 A，交 于 B
，
即所求
原理：点到直线，垂线段最短，
l
1
l
2
P
B
A
l
1
l
2
P'
P
B
A
五、相对运动，平移型将军饮马
【问题 11】在直线 l上求两点 M，N(M在左）且 MN＝a，求 AM＋AN 的最小值
摘要：

专题2-1将军饮马等8类常见最值问题题型一两定一动型（线段和差最值问题）题型二双动点最值问题（两次对称）题型三动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）题型四垂线段最短题型五相对运动平移型将军饮马题型六通过瓜豆得出轨迹后将军饮马题型七化斜为直，斜大于直题型八构造二次函数模型求最值一、单动点问题【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为ABlABlPAB【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小问题解决：作B关于l的对称点B'⇒PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即...

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