专题04 二次根式【八大题型】（举一反三）（原卷版）

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专题 04 二次根式【八大题型】
【题型 1 二次根式有意义的条件】............................................................................................................................1
【题型 2 二次根式的乘除及化简】............................................................................................................................2
【题型 3 应用乘法公式计算二次根式的值】...........................................................................................................2
【题型 4 二次根式的混合运算】................................................................................................................................3
【题型 5 二次根式的估值】........................................................................................................................................4
【题型 6 二次根式中的开放性试题】........................................................................................................................4
【题型 7 二次根式中的规律探究】............................................................................................................................4
【题型 8 与二次根式有关的新定义问题】................................................................................................................5
【知识点 二次根式】
1.二次根式的定义
一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式。
2.二次根式的基本性质
① (a≥0)； ② (a≥0)； ③ (a取全体实数)。
3.二次根式的乘除
(1)二次根式的乘法：①
√
a⋅
√
b=
√
ab
； ②
√
ab=
√
a⋅
√
b
(a≥0，
b≥0)。
(2)二次根式的除法：① ； ② (a≥0，
b＞0)。
4.最简二次根式
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5.二次根式的加减
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
【题型 1 二次根式有意义的条件】
【规律方法】
此类问题的解决方法：先根据被开方数（式）大于等于零，列出关于字母的不等式（组），然后求出不等
式（组）的解集，即字母的取值范围，若分母中有字母，还要考虑分母不能为零。
【例 1】（2023·湖南·统考中考真题）使代数式
√
−x2+2x−1
有意义的 x的取值范围是 ．
【变式 1-1】（2023·辽宁·统考中考真题）若
1
√
x−3
有意义，则实数 x的取值范围是
【变式 1-2】（2023·黑龙江绥化·统考二模）在函数
y=1
√
x+3+
(
x−3
)
0
中，自变量 x的取值范围是(　　)
A．
x ≥−3
B．
C．
x ≠ 3
D．
x>−3
且
x ≠ 3
【变式 1-3】（2023·广东茂名·校考一模）式子
√
2x+tan 45 °
x−tan 45 °
有意义的
x
的取值范围是（ ）
A．
x ≥−1
2
且
x ≠ 1
B．
x ≠ 1
C．
x ≥−1
2
D．
x>−1
2
且
x ≠ 1
【题型 2 二次根式的乘除及化简】
【例 2】（2023·湖南常德·统考模拟预测）计算
√
18 ÷
√
3
4×
√
4
3
结果为（ ）．
A．
3
√
2
B．
4
√
3
C．
4
√
2
D．
6
√
2
【变式 2-1】（2023·辽宁·统考中考真题）若
a=
√
2
，
b=
√
7
，则
√
14 a2
b2=¿
．
【变式 2-2】（2023 下·江苏·八年级专题练习）计算
√
a
b÷
√
ab ⋅
√
1
ab
（
a＞0，b＞0
）的结果是（　　）
A．
1
a b2
√
ab
B．
1
ab
√
ab
C．
1
b
√
ab
D．
b
√
ab
【变式 2-3】（2023·山东潍坊·统考中考真题）从
−
√
2
、
√
3
，
√
6
中任意选择两个数，分别填在算式
(
□+○
)
2÷
√
2
里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
【题型 3 应用乘法公式计算二次根式的值】
【例 3】（2023·吉林·统考中考真题）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相
应的任务：
解：
(
√
3−
√
2
)
2×
(
5+2
√
6
)
¿
(
3−2
√
6+2
)
×
(
5+2
√
6
)
…第1步
¿
(
5−2
√
6
)
×
(
5+2
√
6
)
…第2步
摘要：

专题04二次根式【八大题型】【题型1二次根式有意义的条件】............................................................................................................................1【题型2二次根式的乘除及化简】............................................................................................................................2【题型3应用...

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