专题06 圆与射影定理结合型压轴题专题（原卷版）—2023-2024学年挑战中考压轴题重难点题型分类

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专题 06 圆与射影定理结合型压轴题专题
（原卷版）
射影定理模型：
射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中
项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定
理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。
图形 推导过程 结论
因为
∽
① ;
② ;
③
1.（长沙中考）如图，点 P在以 MN 为直径的半圆上运动（点 P不与 M，N重合），PQ MN⊥，NE 平分
∠MNP，交 PM 于点 E，交 PQ 于点 F．
（1）+＝　 　．
（2）若 PN2＝PM•MN，则 ＝　 　．
2．（北雅）如图，点 在以 为直径的半圆上运动（不与 、 重合）， 于 点，过 点
作 与 平行交 的延长线于 点．
（1）求 的度数；
（2）求证： 与 相切；
（3）若 ，求 的值．
3．（长沙中考）如图，点 ， ， 在 上运动，满足 ，延长 至点 ，使得
，点 是弦 上一动点（不与点 ， 重合），过点 作弦 的垂线，交 于点 ，
交 的延长线于点 ，交 于点 （点 在劣弧 上）．
（1） 是 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
（2）记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，若 ，求 的值；
（3）若 的半径为 1，设 ， ，试求 关于 的函数解析式，并
写出自变量 的取值范围．
P
MN
M
N PH MN
H
N
NQ
PH
MP
Q
QPN
QN
O
2
PN PM MN 
MH
NH
A B
C
O
2 2 2
AB BC AC 
AC
D
DBC CAB  
E
AC
A
C
E
AB AB F
BC N
O
M M
AC
BD
O
BDC
ABC
ADB
1
S
2
S
S
2
1 2
( )S S S 
2
(tan )D
O
FM x
1 1
FE FN y
BC BN AE AC
 
 
y
x
x
摘要：

专题06圆与射影定理结合型压轴题专题（原卷版）射影定理模型：射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。图形推导过程结论因为∽①;②;③1.（长沙中考）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQMN⊥，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．（1）+＝　　．（2）若PN2＝PM•MN，则＝　　．2．（北雅）如图，点在以为直径的半圆上运动（不与、重合），于点，过点作与平...

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