专题16 二次函数的应用【十大题型】（举一反三）（原卷版）

2025-05-14 0 0 1.65MB 20 页 10玖币
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专题 16 二次函数的应用【十大题型】
【题型 1 方案选择问题】............................................................................................................................................1
【题型 2 拱桥问题】....................................................................................................................................................3
【题型 3 隧道问题】....................................................................................................................................................5
【题型 4 喷泉问题】....................................................................................................................................................7
【题型 5 球类飞行轨迹问题】....................................................................................................................................8
【题型 6 空中跳跃轨迹问题】..................................................................................................................................10
【题型 7 最大利润问题】..........................................................................................................................................12
【题型 8 图形运动问题】..........................................................................................................................................14
【题型 9 图形面积问题】..........................................................................................................................................16
【题型 10 现实生活问题】.........................................................................................................................................17
【知识点 二次函数的应用】
在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审.二设.三列.四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变间的关系设满量。根据各个量之足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
【题型 1 方案选择问题】
【例 1】（2023·山东潍坊·统考二模）2023 年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用 20000
元采购 A型风筝的只数是用 8000 元采购 B型风筝的只数的 2倍，一只 A型风筝的进价比一只 B型风筝的进
价多 20 元．
(1)求一只 A，B型风筝的进价分别为多少元？
(2)经市场调查发现：A型风筝售价的一半与 A型风筝销量的和总是等于 130，B型风筝的售价为 120 元/只．
该经销商计划购进 A，B型风筝共 300 只，其中 A型风筝
m
(
50 ≤m≤150
)
只，若两种风筝能全部售出，求
销售这批风筝的最大利润，并写出此时的采购方案．
【变式 1-1】（2023·河北邯郸·校考三模）九年级某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来 8米长
的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等
腰直角三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，如图所示，最佳方案是（ ）
A．方案 1 B．方案 2 C．方案 3 D．面积都一样
【变式 1-2】（2023·安徽合肥·统考三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇
签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利
0.4 万元，销售乙种水果获利如下表所示：
销售
x
（吨） 34567
获利
y
（万
元）
0.9
1.
1
1.3 1.5 1.7
(1)分别求销售甲、乙两种水果获利
y1
（万元）、
y2
（万元）与购进水果数量
x
（吨）的函数关系式；
(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？
(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为
、
n
吨，且
m
，
n
满足
n=20−1
2m2
，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案．
【变式 1-3】（2023·四川达州·模拟预测）如图 1，隧道截面由抛物线的一部分 AED 和矩形 ABCD 构成，矩
形的一边 BC 为12 米，另一边 AB 为2米．以BC 所在的直线为x轴，线段 BC 的垂直平分线为y轴，建立
平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图 2、图 3中粗线段所示，点
P1
，
P4
在x轴上，MN 与矩形
P1P2P3P4
的一边平行且相等．栅栏总长 l为图中粗线段
P1P2
，
P2P3
，
P3P4
，MN
长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图 2，点
P2
，
P3
在抛物线 AED 上．设点
P1
的横坐标为
m
(
0<m≤ 6
)
，
求栅栏总长 l与m之间的函数表达式和 l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为 18 的栅栏，有如图 3所示的修建“ ”型或“ ”型栅型两种设计方案，
请你从中选择一种，求出该方案下矩形
P1P2P3P4
面积的最大值，及取最大值时点
P1
的横坐标的取值范围
（
P1
在
P4
右侧）．
【题型 2 拱桥问题】
【例 2】（2023·四川·统考中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．
当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10 米，孔顶离水面 1.5 米；当水位下降，大孔水面宽度为14 米
时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20 米，则单个小孔的水面宽度为（　　）
A．4
√
3
米B．5
√
2
米C．2
√
13
米D．7米
【变式 2-1】（2023·浙江·统考中考真题）如图 1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长 CD
均为24m，在距离 D点6米的 E处，测得桥面到桥拱的距离 EF 为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为 x
轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱项部O离水面的距离．
（2）如图 2，桥面上方有 3根高度均为4m 的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同
的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
【变式 2-2】（2012·湖北武汉·中考真题）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一
部分
ACB
和矩形的三边
AE
、
ED
、
DB
组成，已知河底
ED
是水平的，
ED= 16 m
，
AE=8 m
，抛物线的
顶点C到
ED
的距离是
11m
，以
ED
所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的
40 h
内，水面与河底
ED
的距离
h
（单位：
m
）随时间
t
（单位：
h
）的变化满足函
数关系
h=−1
128
(
t−19
)
2+8
(
0≤t ≤ 40
)
且当水面到顶点C的距离不大于
5 m
时，需禁止船只通行，请通过计
算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
【变式 2-3】（2023·北京西城·校考模拟预测）如图，有一座抛物线形状的拱桥，对拱桥在水面以上的部分
进行测量，得到桥洞的跨度为12 米，并且以桥洞拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y
轴正方向，建立平面直角坐标系，把测量得到的数据记入下表：
x（米） －6－4－20 2 4 6
y（米） －3.02 －1.33 －0.31 0－0.32
－
1.33
－2.99
(1)请在下面的坐标系中根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
摘要：

专题16二次函数的应用【十大题型】【题型1方案选择问题】............................................................................................................................................1【题型2拱桥问题】.............................................................................................................................

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