专题08 一元二次方程及其应用【九大题型】（举一反三）（原卷版）

2025-05-14 0 0 179.27KB 8 页 10玖币

专题 08  一元二次方程及其应用【九大题型】
【题型 1  一元二次方程的解法】................................................................................................................................2
【题型 2  根据一元二次方程判断根的情况】...........................................................................................................2
【题型 3  根据根的情况判断字母的取值或范围】...................................................................................................3
【题型 4  一元二次方程的应用之平均增长（下降）率问题】...............................................................................4
【题型 5  一元二次方程的应用之几何图形的面积问题】.......................................................................................4
【题型 6  一元二次方程的应用之与涨价、降价有关的商品利润问题】...............................................................5
【题型 7  中考最热考法之以开放性试题的形式考查解一元二次方程】...............................................................6
【题型 8  中考最热考法之以开放性试题的形式考查一元二次方程根的判别式】...............................................7
【题型 9  中考最热考法之以真实问题情境考查一元二次方程的实际应用】.......................................................7
【知识点  一元二次方程】
1.定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a≠0)。其中 ax2 是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是
一次项系数；c是常数项。
2.一元二次方程的解法
(1)直接开方法。适用形式：x2=p.(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
(2)配方法。套用公式 a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
① 化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为 1；②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成 x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；
④开方，即降次；⑤解一次方程。
(3)公式法。当b2-4ac≥0 时，方程 ax2+bx+c=0 的实数根可写为： 的形式，这个式子叫
做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。

，

②b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根。

③b2-4ac＜0时，方程无实数根。

定义：b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用字母 Δ表示，即 Δ=b2-4ac。

(4)因式分解法。主要用提公因式法.平方差公式.十字相乘法。

3.一元二次方程与实际问题

解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：

第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。

第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。

第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。

第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。

第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。

第6步：答。

【题型 1 一元二次方程的解法】

【例 1】（2023·黑龙江·统考中考真题）解方程：

(2x+3)2=(3x+2)2

【变式 1-1】（2023·青海·统考中考真题）解方程：

(

x−2

)

=x−2

．

【变式 1-2】（2023·吉林·中考真题）解方程：

x2−6x+9=(5−2x)2

【变式 1-3】（2023·山东·中考真题）根据要求，解答下列问题．

（1）根据要求，解答下列问题．

①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；

②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；

③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；

…… ……

（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：

①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；

②关于x的方程________________________的解为 x1＝1，x2＝n．

（3）请用配方法解方程 x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．

【题型 2 根据一元二次方程判断根的情况】

【规律方法】判断一般形式为一元二次方程根的情况时，使用根的判别式“b2-4ac”判断，若方程形式为

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摘要：

专题08一元二次方程及其应用【九大题型】【题型1一元二次方程的解法】................................................................................................................................2【题型2根据一元二次方程判断根的情况】...........................................................................................................2【题型3根据根的情况...

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