专题14 一题多解型（解析版）

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专题 14 一题多解型

题型解读｜模型构建｜通关试练

几何中一题多解型问题是指由于试题条件的不明确性，或题意中含有不确定的参数或图形时，导致结

果有多种可能性，从而使答案不唯一。而此类问题因其能更好的体现学生分析问题和解决问题的能力，所

以此类问题往往会出现在中考的试卷中，同时，许多考生因忽视问题中的“不确定性”而导致所得出的答

案不全，从而失分。

应如何解决此类问题呢？解决此类问题最好的方法就是应用分类讨论思想．

分类讨论思想就是人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究

的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决。该问题是中

招考试中必考的题型，一般以压轴题的形式出现，具有一定的难度，需要学生多练习、多总结。

模型 01 翻折问题

几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查

学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。

翻折问题

旋转问题

一题多解型平移问题

存在性问题

动点问题

涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以

及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角

形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

常见翻折模型：

模型 02 旋转问题

旋转问题在近几年各地中考主要以填空题、选择题、解答题的形式进行考查，各地试题有容易题、中

档题也有压轴题；考查的内容主要涉及的有：中心对称和中心对称图形的概念与性质；图形的旋转的概念

与性质；考查的热点主要有旋转对称图形与中心对称图形；旋转的性质；旋转变换；几何变换综合问题。

三角形共顶点旋转模型：

正方形共顶点旋转模型：

旋转相似

模型 03 平移问题

对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合

的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。

1．定义

在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改

变图形的形状和大小．

2．三大要素

一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．

3．性质

（1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；

（2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；

（3）平移前后的图形全等．

模型 04 存在性问题

多可能性问题中，等腰三角形与直角三角形的存在性考试较多。

等腰三角形中的分类讨论：

凡是涉及等腰三角形的存在性问题优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题。

注意一下几种谈论形式：（1）已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；（2）已知角度数无法确

定是顶角还是底角时要分类讨论；（3）遇高线需分高在△内和△外两类讨论；（4）中线把等腰△周长分

成两部分需分类讨论．

直角三角形的存在性问题谈论：

一般分三个步骤：第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．

解直角三角形的问题，常常和相似三角形、锐角三角函数的问题联系在一起．一般情况下，按照直角顶点

或者斜边分类，然后按照相似或勾股定理列方程．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用得到．

有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．

模型 05 动点问题

模型一　动点运动轨迹——直线型

【模型解读】 (1)定距离判断直线型路径：当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的路径为直线．

(2)定角度判断直线型路径：当某一动点与定线段的一个端点连接后所成的角度不变时，该动点的路径为直

线．

基本图形：

模型二　动点运动轨迹——圆或圆弧型

【模型解读】 (1)“一中同长”：到定点的距离等于定长的点的集合是圆．(2)用定弦对定角定圆：当某条

边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的路径是圆弧．见直角→找斜边(定长)→想直径→定外心→现

“圆”形；见定角→找对边(定长)→想圆周角→转圆心角→现“圆”形．

基本图形：

模型三　动点轨迹为其他曲线，构造三角形

【模型解读】 (1)当动点轨迹不是“定线”或“定圆”，是两条线段时，可以考虑三角形的三边关系，最

大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之差．(2)在转化较难进行时，可以借助于三角形的中位

线及直角三角形斜边上的中线．(3)这类问题归属为滑竿问题．

基本图形：

模型四　双动点型

【模型解读】 (1)对于不关联的双动点问题，采用“控制变量法”，先控制其中一个点不动，分析另一个

点的运动轨迹，再让这个点运动起来，可以使问题更直观，思路更清晰；(2)对于多个点运动并且是联动的

问题，一般采用相对运动法，可以让一些点静止，减少动点的个数，使问题简单化．

模型 01 翻折模型

考｜向｜预｜测

翻折模型该题型近年主要以多可能性问题和应用题形式出现，多可能性问题一般为填空题的最后一

题，具有一定的难度，在各类考试中均为压轴题型。翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的

性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、

圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。

答｜题｜技｜巧

第一步：利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；

第二步：结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；

第三步：运用勾股定理或者三角形相似建立方程。

例1. （2024·江苏·一模）如图，点在正方形边上，且，点是线段上一动点

（点不与点重合），连接，将沿所在直线折叠，点的对应点为，过作

于点，当点落在正方形的对角线上时，线段的长为

．

【答案】或1

【详解】解：，

，，

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摘要：

专题14一题多解型题型解读｜模型构建｜通关试练几何中一题多解型问题是指由于试题条件的不明确性，或题意中含有不确定的参数或图形时，导致结果有多种可能性，从而使答案不唯一。而此类问题因其能更好的体现学生分析问题和解决问题的能力，所以此类问题往往会出现在中考的试卷中，同时，许多考生因忽视问题中的“不确定性”而导致所得出的答案不全，从而失分。应如何解决此类问题呢？解决此类问题最好的方法就是应用分类讨论思想．分类讨论思想就是人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决。该问题是中招考试中必考的题型...

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