专题19 三角形的概念和性质【十六大题型】（举一反三）（原卷版）

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专题 19 三角形的概念和性质【十六大题型】
【题型 1 画三角形的高、中线、角平分线】...........................................................................................................2
【题型 2 等面积法求三角形的高】............................................................................................................................4
【题型 3 利用网格求三角形的面积】........................................................................................................................5
【题型 4 根据三角形的中线求解】............................................................................................................................6
【题型 5 与垂心性质有关的计算】............................................................................................................................8
【题型 6 利用三角形的三边关系求解】....................................................................................................................9
【题型 7 利用三角形内角和定理求解】....................................................................................................................9
【题型 8 三角形内角和与平行线的综合应用】.....................................................................................................10
【题型 9 三角形内角和与角平分线的综合应用】.................................................................................................12
【题型 10 利用三角形内角和定理解决三角板问题】............................................................................................13
【题型 11 利用三角形内角和定理探究角的数量关系】........................................................................................15
【题型 13 利用三角形外角的性质求角度】...........................................................................................................17
【题型 14 三角形的外角性质与平行线的综合】....................................................................................................18
【题型 15 利用三角形的外角性质解决折叠问题】................................................................................................20
【题型 16 三角形内角和定理与外角和定理综合】................................................................................................21
【知识点 三角形】
1.三角形的基本概念
(1)三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
(2)三角形的分类
①按边之间的关系分：
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；
有两边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都相等的三角形叫做等边三角形。
②按角分类：
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
(3)三角形的三边之间的关系
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
三角形三边关系定理及推论的作用：
① 判断三条已知线段能否组成三角形
② 当已知两边时，可确定第三边的范围。
③ 证明线段不等关系。
(4)三角形的高.中线.角平分线
角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形
的角平分线。
中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形
的高）。
(5)三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应
用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
(6)三角形的角
① 三角形的内角和等于 180°。
推论：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。
②三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它
不相邻的内角。
三角形的外角和等于 360°。
(7)三角形的面积
三角形的面积=
1
2
×底×高
【题型 1 画三角形的高、中线、角平分线】
【例 1】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角
△ABC
做折纸游戏，折叠方法如图所示，
折痕与
BC
交于点
D
，连接
AD
，则线段
AD
分别是
的（ ）
A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线
【变式 1-1】（2023·吉林长春·校联考二模）图①、图②、图③均是 4×4 的正方形网格，每个小正方形的
顶点称为格点，小正方形的边长为 1，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图①中作△ABC 的中线 BD．
(2)在图②中作△ABC 的高 BE．
(3)在图③中作△ABC 的角平分线 BF．
【变式 1-2】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（
∠A
是钝角），他
打算用折叠的方法折出
∠C
的角平分线、
AB
边上的中线和高线，能折出的是（　　）
A．
AB
边上的中线和高线 B．
∠C
的角平分线和
AB
边上的高线
C．
∠C
的角平分线和
AB
边上的中线 D．
∠C
的角平分线、
AB
边上的中线和高线
【变式 1-3】（2023 下·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在小正方形的边长均为 1的方格纸中，
△ABC
的顶点
均在小正方形的顶点上．
(1)在图 1中画出
△ABC
中
BC
边上的高
AD
，垂足为 D；
(2)在图 2中画出
△ABC
中
AB
边上的中线
CE
；
(3)直接写出图 2中三角形
ACE
的面积．
【题型 2 等面积法求三角形的高】
【例 2】（2023·陕西西安·校考三模）如图，将
△ABC
放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均
为1），点 A、B、C恰好在网格图中的格点上，那么
△ABC
中
BC
边上的高的长度是（　　）
A．
7
√
5
10
B．
7
√
13
C．
7
√
17
17
D．
14
√
17
17
【变式 2-1】（2023·江苏苏州·统考三模）数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△DEF，数据如图，
如果把小敏画的三角形面积记作 S△ABC，小颖画的三角形面积记作 S△DEF，那么你认为( )
A．S△ABC >S△DEF B．S△ABC <S△DEF
C．S△ABC =S△DEF D．不能确定
【变式 2-2】（2023 上·陕西延安·二模）如图，
△ABC
在平面直角坐标系中，
A
，
B
，
C
三点在方格线的交
点上．
(1)请在图中作出
△ABC
中
AB
边上的高．
(2)求
△ABC
的面积．
(3)点
B
到
AC
边所在直线的距离为
16
5
，求
AC
的长度．
【变式 2-3】（2023·河北张家口·统考一模）如图，在点 A，B，C，D中选一个点；与点 M，N为顶点构成
一个三角形，其面积等于
△KMN
的面积，这个点为（ ）
A．点 AB．点 BC．点 CD．点 D
【题型 3 利用网格求三角形的面积】
【例 3】（2023·安徽安庆·校考一模）如图，点 A，B在由边长为 1的小正方形组成的网格的格点上，在网
格格点上除点 A，B外任取一点 C，则使
△ABC
的面积为 1的概率是 ．
【变式 3-1】（2023·北京·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D均在格点上，则
SΔ ABC
SΔ ACD
(填“＞”，“＜”或“＝”)．
摘要：

专题19三角形的概念和性质【十六大题型】【题型1画三角形的高、中线、角平分线】...........................................................................................................2【题型2等面积法求三角形的高】............................................................................................................................4【题型3利用网格求三角形的...

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