专题23 图形的相似与位似【十四大题型】（举一反三）（原卷版）

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专题 23 图形的相似与位似【十四大题型】
【题型 1 利用比例的性质求值】................................................................................................................................4
【题型 2 黄金分割】....................................................................................................................................................4
【题型 3 由平行线分线段成比例判断式子正误】...................................................................................................5
【题型 4 平行线分线段成比例（A型）】................................................................................................................6
【题型 5 平行线分线段成比例（X型）】................................................................................................................8
【题型 6 平行线分线段成比例与三角形中位线综合】...........................................................................................9
【题型 7 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】.....................................................................................10
【题型 8 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】.........................................................................................11
【题型 9 相似多边形的性质】..................................................................................................................................12
【题型 10 画已知图形放大或缩小 n倍后的位似图形】.........................................................................................14
【题型 11 求位似图形的坐标】.................................................................................................................................16
【题型 12 求位似图形的线段长度】.........................................................................................................................17
【题型 13 求位似图形的周长】.................................................................................................................................18
【题型 14 求位似图形的面积】.................................................................................................................................19
【知识点 图形的相似与位似】
1.比例线段的概念与性质
线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比．
比例线段的定义：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的
比相等，如
a
b=c
d
（即
ad=bc
），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中 a、b、c、d叫
组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项，
【补充】当比的内项相等时，即
a
b=b
d
或a：b=b：d，线段 b 叫做线段 a和d的比例中项.
【解题思路】
1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线
段的比是否相等即可；
2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成
a
b=c
d
（即：
第一条
第二条 =第三条
第四条
），而不能写成
a
b=d
c
.
比例的性质：
1）基本性质：
a
b=c
d⇔ad=bc
a
b=b
c⇔b2=ac
2）变形：
核心内容：
ad=bc
3）合、分比性质：
a
b=c
d⇔a± b
b=c ± d
d
【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差
变化比例仍成立．如：
a
b=c
d⇒
{
¿b−a
a=d−c
c
¿a−b
a+b=c−d
c+d
4）等比性质：如果
a
b=c
d=e
f=⋯=m
n=k
， 那么
a+c+e+⋯+m
b+d+f+⋯+n=k(b+d+f+⋯+n ≠ 0)
.
【补充】根据等比的性质可推出，如果
a
b=c
d
，则
a
b=c
d=a+c
b+d(b+d ≠ 0)
.
5）黄金分割：点C把线段 AB 分割成 AC 和CB 两段,如果
AC
AB =BC
AC
,那么线段 AB 被点 C黄金分割，点 C
叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.
【注意】1）
AC=
√
5−1
2AB ≈ 0.648 AB
(
√
5−1
2
叫做黄金分割值). 简记为：
长
全＝短
长＝
√
5−1
2
2）一条线段的黄金分割点有两个.
【扩展】作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段 AB，按照如下方法作图：
① 经过点 B作BD AB⊥，使 BD=
1
2
AB.
②连接AD，在 DA 上截取 DE=DB.
③在AB 上截取 AC=AE.则点 C为线段 AB 的黄金分割点.
6）平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
①已知l3l∥4l∥5, 可得
AB
BC =DE
EF 或AB
AC =DE
DF 或BC
AB =EF
DE 或BC
AC =EF
DF 或AB
DE =BC
EF
等
① 把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况：
推论：平行于三角形一 边的直线截其它两边（或
两边的延长线）所得的对应线段成比例．
2.相似多边形的性质：
1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
2) 相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
3.位似图形
位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两
个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心.
常见的位似图形：
画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图
形时，注意关于某点的位似图形有两个.）
判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.
位似图形的性质：
1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点；
2）位似图形的对应边互相平行或者共线.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等
于k或–k.
画位似图形的步骤：
1）确定位似中心,找原图形的关键点.
2）确定位似比.
3）以位似中心为端点向各关键点作射线.
【题型 1 利用比例的性质求值】
【例 1】（2023·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习
内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应
填
【答案】
2
【变式 1-1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）若
x
y=2
，则
x−y
y=¿
．
【变式 1-2】（2023·湖南岳阳·校考一模）已知
x
2=y
3=z
5
，且
3x+4z−2y=40
，则
x
的值为 ．
【变式 1-3】（2023·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若
▲
●=●−◆
▲=◆
●+▲
，则▲，●，◆这三种物体的重量比为（ ）
A．
2 :3: 4
B．
2 :4 : 3
C．
3 :4 : 5
D．
3 :5 : 4
【题型 2 黄金分割】
【例 2】（2023·广东云浮·统考一模）如图，在
△ABC
中，
∠A= 36 °，AB=AC
，以点 B为圆心任意长
为半径画弧，分别交
AB，BC
于点 M，N，再分别以点 M，N为圆心，大于
1
2MN
的长为半径画弧，两弧
交于点 O，连接
BO
，并延长交
AC
于点 D，若
AB= 2
，则
CD
的长为（　　）
A．
√
5−1
B．
3−
√
5
C．
√
5+1
D．
3+
√
5
【变式 2-1】（2023·上海杨浦·统考一模）已知
P
是线段
AB
的黄金分割点，且
AP>BP
，那么下列等式能成
立的是（ ）
A．
AB
AP =AP
BP
B．
AB
BP =BP
AP
C．
AP
BP =
√
5−1
2
D．
AB
AP =
√
5−1
2
【变式 2-2】（2023·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦
AB=80 cm
，两个端点
A , B
固定在
乐器板面上，支撑点
C
是靠近点
B
的黄金分割点，支撑点
D
是靠近点
A
的黄金分割点，
C , D
之间的距离为
．
【变式 2-3】（2023·安徽·统考模拟预测）如图，
AB
为半圆 O的直径，点 O为圆心，点 C是弧上的一点，
沿
CB
为折痕折叠
´
BC
交
AB
于点 M，连接
CM
，若点M为
AB
的黄金分割点（
BM >AM
），则
sin ∠BCM
的值为（　　）
A．
√
5−1
2
B．
√
5+1
2
C．
√
5−1
4
D．
1
2
【题型 3 由平行线分线段成比例判断式子正误】
【例 3】（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在
△ABC
中，
∠ACB=90 °
，分别以点 A和点 C为圆心，
摘要：

专题23图形的相似与位似【十四大题型】【题型1利用比例的性质求值】................................................................................................................................4【题型2黄金分割】....................................................................................................................................

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