专题29 正方形的性质与判定【十六大题型】（举一反三）（原卷版）

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专题 29 正方形的性质与判定【十六大题型】
【题型 1 根据正方形的性质求角度、线段长、面积、坐标】...............................................................................2
【题型 2 正方形的判定定理的理解】........................................................................................................................3
【题型 3 证明四边形是正方形】................................................................................................................................4
【题型 4 求正方形重叠部分面积】............................................................................................................................6
【题型 5 与正方形有关的折叠问题】........................................................................................................................7
【题型 6 根据正方形的性质与判定求角度】...........................................................................................................8
【题型 7 根据正方形的性质与判定求线段长】.......................................................................................................9
【题型 8 根据正方形的性质与判定求面积】.........................................................................................................10
【题型 9 根据正方形的性质与判定证明】..............................................................................................................12
【题型 10 根据正方形的性质与判定解决多结论问题】........................................................................................13
【题型 11 与正方形有关的动点问题】.....................................................................................................................15
【题型 12 与正方形有关的规律探究问题】............................................................................................................16
【题型 13 正方形与一次函数的综合应用】............................................................................................................18
【题型 14 正方形与反比例函数的综合应用】........................................................................................................19
【题型 15 正方形与一次函数、反比例函数综合应用】........................................................................................21
【题型 16 正方形与二次函数综合应用】.................................................................................................................23
【知识点 正方形的性质与判定】
1．定义：
四个角相等、四条边也相等的四边形叫作正方形
2．性质：
正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的一切性质．
性质 1：正方形的四个内角都相等，且都为 ，四条边都相等．
性质 2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角．
性质 3：正方形具有 4条对称轴，两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线．
另外，由正方形的性质可以得出：
（1）正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形．
（2）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半．
3．判定：
判定一个四边形是正方形，除了定义之外，还可以采用以下方法：
（1）先证明是矩形，再证明该矩形有一组邻边相等，或对角线互相垂直．
（2）先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等．
【题型 1 根据正方形的性质求角度、线段长、面积、坐标】
【例 1】（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图．四边形
ABCO
为正方形，点 A的坐标为
(
1,
√
3
)
，将正方
形绕点 O逆时针旋转，每次旋转 60°，则第 2023 次旋转结束时，点 C所到位置的坐标为（ ）
A．
(
√
3,−1
)
B．
(
−1,−
√
3
)
C．
(
−1,
√
3
)
D．
(
√
3,1
)
【变式 1-1】（2023·广东东莞·三模）如图，正方形
ABCD
的两条对角线
，
BD
相交于点
O
，点
E
在
BD
上，且
BE=BC
．则
∠BEC
的度数为 ．
【变式 1-2】（2023·河南·统考二模）如图，边长为 2的正方形
ABCD
的对角线相交于点 O，过点 O的直线
分别交
AD
、
BC
于E、F，则阴影部分的面积是 ．
【变式 1-3】（2023·江苏盐城·校考模拟预测）如图，以正方形
ABCD
的两边
BC
和
AD
为斜边向外作两个
全等的直角三角形
BCE
和
DAF
，过点 C作
CG ⊥AF
于点 G，交
AD
于点 H，过点 B作
BI ⊥CG
于点 I，
过点 D作
DK ⊥BE
，交
EB
延长线于点 K，交
CG
于点 L．若
S四边形 ABIG=2S△BCE
，
GH =1
，则
DK
的长为
．
【题型 2 正方形的判定定理的理解】
【例 2】（2023·河北邢台·统考二模）下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形
是正方形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 2-1】（2023·河北邢台·二模）如图，四边形
ABCD
的对角线
、
BD
相交于点
O
，下列条件中，能
判定四边形
ABCD
是正方形的是（ ）
A．
AC=BC =CD=DA
B．
AO=CO
，
BO=DO
，
AC ⊥BD
C．
AO=BO=CO=DO
，
AC ⊥BD
D．
AB=BC
，
CD ⊥DA
【变式 2-2】（2023·河南南阳·统考三模）在
▱ABCD
中，已知
AC
、
BD
为对角线，现有以下四个条件：
①
∠ABC=90 °
；②
AC=BD
；③
AC ⊥BD
；④
AB=BC
．从中选取两个条件，可以判定
▱ABCD
为
正方形的是 ．（写出一组即可）
【变式 2-3】（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在平行四边形
ABCD
中，
AD=2AB=2
，
∠ABC =60 °
，
E
，
F
是对角线
BD
上的动点，且
BE=DF
，
M
，
N
分别是边
AD
，边
BC
上的动点．下列
四种说法：①存在无数个平行四边形
MENF
；②存在无数个矩形
MENF
；③存在无数个菱形
MENF
；④
存在无数个正方形
MENF
．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型 3 证明四边形是正方形】
【例 3】（2023·山西忻州·统考模拟预测）综合与实践
如图 1，在
△ABC
中，
∠BAC =90 °
，
AB=AC
，
D
是
BC
边上一点，将
△ACD
绕点
A
顺时针方向旋转，
使
与
AB
重合，得到
△ABE
，过点
E
作
EF ∥BC
，交
AB
于点
F
，过点
F
作
FG ⊥BC
于点
G
．
(1)求证：四边形
BEFG
是正方形；
(2)如图 2，在
△ABC
中，
∠BAC =90 °
，
AB>AC
．
D
是
BC
边上一点，将
△ACD
绕点
A
顺时针方向旋
转，使
落在边
AB
上，得到
△AFE
，过点
E
作
EG∥BC
，分别交
AB
，
AD
，
于点
I
，
J
，
G
，过点
F
作
FH ∥BC
，交
AD
于点
H
，且
∠AEG=∠AHG
．求证：四边形
EGHF
是矩形；
(3)在图 2中，若
∠BAC =90 °
，
AC=3
，
AB=4
，
BD=3DC
．将
△ACD
绕点
A
顺时针方向旋转，使
落在边
AB
上，得到
△AEF
，过点
E
作
EG∥BC
，分别交
AB
，
AD
，
于点
I
，
J
，
G
．求线段
FI
的
长度．
【变式 3-1】（2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在菱形
ABCD
中，对角线
，
BD
相交于点
O
，点
E
，
F
在对角线
BD
上，且
BE=DF
，
OE=OA
．
求证：四边形
AECF
是正方形．
【变式 3-2】（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，
△ABC
中，
AB=AC
，D、F分别为
BC 、AC
的中点，
连接
DF
并延长到点 E，使
FE=DF
，连接
AE、AD 、CE
．请添加一个条件：___________，使得四边
形
AECD
是正方形，并说明理由．
【变式 3-3】（2023·福建泉州·统考二模）在
Δ ABC
中，
∠ABC=90 °
，将
Δ ABC
绕点
A
逆时针旋转得到
Δ ADE
（点
B
的对应点是点
D
，且
0°<∠BAD <180°
），射线
DE
与直线
CB
交于点
M
．
(1)如图 1，当
∠BAD=90 °
时，求证：四边形
ADMB
是正方形；
(2)如图 2，当点
D
在线段
CA
的延长线上时，若
AB=1
，
AC=3
，求线段
ME
的长；
(3)如图 3，过点
A
作
AN ∥DE
，交线段
CB
于点
N
，
AN
平分
∠CAE
，试探索：
CN
与
MN
的数量关系，并
说明理由．
【题型 4 求正方形重叠部分面积】
【例 4】（2023·浙江·统考中考真题）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，
每块大正方形地砖的面积为 a，小正方形地砖的面积为 b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形
ABCD．则正方形 ABCD 的面积为 （用含 a，b的代数式表示）．
摘要：

专题29正方形的性质与判定【十六大题型】【题型1根据正方形的性质求角度、线段长、面积、坐标】...............................................................................2【题型2正方形的判定定理的理解】........................................................................................................................3【题型3证明四边形是正方形】..........................

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